toán 11 xđ góc giữa 2 đường thẳng trong không gian

[laothinga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a,SB=a căn 3, (SAB)vuông góc vs đáy ,M là trung điểm AB, N là trung điểm BC,tính cos(SM,DN)

 

[demon311]

Gọi K là trung điểm AD, I là trung điểm AK
Theo định lý Pitago đảo:
$SA^2+AB^2=3a^2+a^2=4a^2=(2a)^2=SB^2$

Do đó $\triangle SAB $ vuông tại A

Nên $SA \perp AB \\
\rightarrow SA \perp (ABCD)$
Ta có:
DNBK là hình bình hành
\Rightarrow DN // KB
Lại có: IM // KB (đường trung bình)
Nên DN // IM
Nên $\cos (SM,DN)=\cos (SM,IM)= \cos \widehat{ SMI}$
Ta có:

$(\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{ IM})^2=SM^2+IM^2-2\overrightarrow{ SM}.\overrightarrow{ IM} \\
\leftrightarrow SI^2=SM^2+MI^2-2\overrightarrow{ SM}.\overrightarrow{ IM} $
$\leftrightarrow \overrightarrow{ SM}.\overrightarrow{ IM}=\dfrac{ SM^2+IM^2-SI^2}{2} \;\;\;$ (1)

Ta có:

$SI^2=IA^2+MA^2=\dfrac{ a^2}{4}+a^2=\dfrac{ 5a^2}{4} \\
SM^2=2a^2 \\
IM^2=(\dfrac{ 1}{2}KB)^2=\dfrac{ 1}{4}(KA^2+AB^2)=\dfrac{ 1}{4}(a^2+4a^2)=\dfrac{ 5a^2}{4}$

Thay $SI^2,SM^2,IM^2$ vào (1) ta được:

$\leftrightarrow \overrightarrow{ SM}.\overrightarrow{ SI}=\dfrac{ \dfrac{ 5a^2}{4}+2a^2-\dfrac{ 5a^2}{4}}{2}=a^2$

Mặt khác: $\leftrightarrow \overrightarrow{ SM}.\overrightarrow{ IM}=SM.IM.\cos (\overrightarrow{ SM},\overrightarrow{ IM})=SM.IM.\cos \widehat{ SMI} \\
\leftrightarrow a^2=\sqrt{ 2}a.\dfrac{ \sqrt{ 5}a}{2}. \cos {\widehat{ SMI}} \\
\cos (\overrightarrow{ SM},\overrightarrow{ SI}) = \cos \widehat{ SMI}=\dfrac{ \sqrt{ 2}}{\sqrt{ 5}}=\dfrac{ \sqrt{ 10}}{5}$