[Toán 11] XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTON

[giathi95]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, xác định hệ số của [TEX]x^n[/TEX] trong khai triển:
[TEX]( 1+x+2x^2+...+nx^n)^2[/TEX]
2, Xác định hệ số của [TEX]x^{n-1} va x^{n-2}[/TEX] trong khai triển
[TEX] P_n=(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2^n})(x+\frac{1}{2^3})...(x+\frac{1}{2^n})[/TEX]
anh em giúp nhé

 

[lamtrang0708]

đc sự trợ giúp

Bài 1,
[TEX]( 1+x+2x^2+...+nx^n)^2=\sum_{k=0}^{2n} a_k x^k.[/TEX]
Trong đó [TEX]a_k=\sum_{{1\le i,j\le n, i+j=k}} ij +2k, a_0=1[/TEX]

Bài 2,

Đặt [TEX]P_n=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k,[/TEX] suy ra [TEX]P_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} (a_{k-1}+a_k/2^{n+1}) x^k[/TEX]
Suy ra [TEX]a_k={a_{k-1}+a_k/2^{n+1},[/TEX] từ đó tính được [TEX]a_k, k>1[/TEX]

Thân,

 

[giathi95]

bạn làm tắt vậy tớ hiểu sao nổi....
Nhờ bạn làm giúp tôi chi tiết với, bạn biết tôi học hành cũng chẳng tới đâu mà...

 

[duynhan1]

1, xác định hệ số của [TEX]x^n[/TEX] trong khai triển:
[TEX]( 1+x+2x^2+...+nx^n)^2[/TEX]
2, Xác định hệ số của [TEX]x^{n-1} va x^{n-2}[/TEX] trong khai triển
[TEX] P_n=(x+\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2^n})(x+\frac{1}{2^3})...(x+\frac{1}{2^n})[/TEX]
anh em giúp nhé

[TEX]( 1+x+2x^2+...+nx^n)^2 \\ = ( 1 + x + 2x^2+...+ n.x^n)( n.x^n+ (n-1) x^{n-1}+..+1) [/TEX]

Tổng hệ số của [TEX]x^n[/TEX]:
[TEX]Ths= n + 1.(n-1) + 2.(n-2) + ...+ (n-1).1 + n [/TEX]



Bài 2 chú ý đến hằng đẳng thức :

[tex] (\sum_{i=1}^n a_i )^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2 \sum_{i \not=j = 1}^n a_i.a_j [/tex]

 

[bonoxofut]

[TEX]( 1+x+2x^2+...+nx^n)^2 \\ = ( 1 + x + 2x^2+...+ n.x^n)( n.x^n+ (n-1) x^{n-1}+..+1) [/TEX]

Tổng hệ số của [TEX]x^n[/TEX]:
[TEX]Ths= n + 1.(n-1) + 2.(n-2) + ...+ (n-1).1 + n \\ = n(n+1) - 2( 1^2 + 2^2 +...+ ( n div 2)^2) [/TEX]

Bài này nếu đã học về xây dựng dãy số bằng phương pháp sai phân, thì làm đến đây, em có thể chứng minh vế trái của đẳng thức phía trên chính là biểu thức:

​

Hoặc cũng có thể chứng minh điều này bằng quy nạp.

---------------------------

Còn câu b, thì đây là hướng làm của mình:

là tích của n cụm

, với i chạy từ 1 đến n.

Mỗi số hạng của

chính là tích của n hạng tử nhỏ, trong đó hạng tử nhỏ thứ i được chọn là một trong 2 hạng tử của cụm

.

Do đó, trong

, để thành lập được một hạng tử bậc n - 1 theo x. Thì phải chọn (n - 1) phần tử x từ (n - 1) cụm khác nhau của tập

, và phần tử cuối cùng chính là hằng số

nào đó.

Do đó, hệ số đứng trước

trong

chính là:

Đây chính là tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân.

---------------------------

Lý luận tương tự với trường hợp

, ta có hệ số của nó sẽ được tính bằng công thức:

Viết lại một chút, ta sẽ có:

Kết quả trên có được nhờ biến đổi từ từ, tất cả đều là tổng của một số số hạng đầu trong một cấp số nhân nào đó.

Bài cuối cùng dài wa'. Có ai có cách nào khác không?

Thân,

 

[lovemaths_khtn_0206]

Mọi người ơi làm thế nào để đánh được mấy cái kí tư toán học thế?
Em ko biết phải ghi bài giải thế nào nữa

 

[giathi95]

Topic rèn latex

Mọi người ơi làm thế nào để đánh được mấy cái kí tư toán học thế?
Em ko biết phải ghi bài giải thế nào nữa

bạn vào đây nhé: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=137780

 

[giathi95]

Có bài này anh em chỉ giáo xem kết quả có đúng với tớ ko....
Tìm hệ số của [TEX]x^4[/TEX] trong khai triển:
[TEX]P=(x^3-9x^2+23x-15)^{16}[/TEX]

 

[nerversaynever]

Có bài này anh em chỉ giáo xem kết quả có đúng với tớ ko....
Tìm hệ số của [TEX]x^4[/TEX] trong khai triển:
[TEX]P=(x^3-9x^2+23x-15)^{16}[/TEX]

[TEX]\begin{array}{l} P = \left( {x - 1} \right)^{16} \left( {x - 3} \right)^{16} \left( {x - 5} \right)^{16} \\ = \left( {\sum\limits_{k = 1}^{16} {C_{16}^k x^k \left( { - 1} \right)^{16 - k} } } \right)\left( {\sum\limits_{m = 1}^{16} {C_{16}^m x^m \left( { - 3} \right)^{16 - m} } } \right)\left( {\sum\limits_{n = 1}^{16} {C_{16}^n x^n \left( { - 5} \right)^{16 - n} } } \right) \\ = > h/s:C_{16}^k C_{16}^m C_{16}^n x^{k + m + n} \left( { - 1} \right)^{16 - k} \left( { - 3} \right)^{16 - m} \left( { - 5} \right)^{16 - n} \\ k + m + p = 4 \\ = > h/s:x^4 = C_{16}^4 .C_{16}^0 C_{16}^0 .1^{12} .3^{12} .5^{12} \left( {1^4 + 3^4 + 5^4 } \right) + C_{16}^3 .C_{16}^1 C_{16}^0 .1^{13} .3^{13} .5^{13} \left( {1^3 .3^2 + 1^2 .3^3 + 1^3 .5^2 + 1^2 .5^3 + 3^3 .5^2 + 3^2 .5^3 } \right) + C_{16}^2 .C_{16}^2 C_{16}^0 .1^{14} .3^{14} .5^{14} \left( {1^2 + 3^2 + 5^2 } \right) + C_{16}^2 .C_{16}^1 C_{16}^1 .1^{14} .3^{14} .5^{14} \left( {1.3 + 3.5 + 5.1} \right) \\ \end{array}[/TEX]

 

[giathi95]

[TEX]\begin{array}{l} P = \left( {x - 1} \right)^{16} \left( {x - 3} \right)^{16} \left( {x - 5} \right)^{16} \\ = \left( {\sum\limits_{k = 1}^{16} {C_{16}^k x^k \left( { - 1} \right)^{16 - k} } } \right)\left( {\sum\limits_{m = 1}^{16} {C_{16}^m x^m \left( { - 3} \right)^{16 - m} } } \right)\left( {\sum\limits_{n = 1}^{16} {C_{16}^n x^n \left( { - 5} \right)^{16 - n} } } \right) \\ = > h/s:C_{16}^k C_{16}^m C_{16}^n x^{k + m + n} \left( { - 1} \right)^{16 - k} \left( { - 3} \right)^{16 - m} \left( { - 5} \right)^{16 - n} \\ k + m + p = 4 \\ = > h/s:x^4 = C_{16}^4 .C_{16}^0 C_{16}^0 .1^{12} .3^{12} .5^{12} \left( {1^4 + 3^4 + 5^4 } \right) + C_{16}^3 .C_{16}^1 C_{16}^0 .1^{13} .3^{13} .5^{13} \left( {1^3 .3^2 + 1^2 .3^3 + 1^3 .5^2 + 1^2 .5^3 + 3^3 .5^2 + 3^2 .5^3 } \right) + C_{16}^2 .C_{16}^2 C_{16}^0 .1^{14} .3^{14} .5^{14} \left( {1^2 + 3^2 + 5^2 } \right) + C_{16}^2 .C_{16}^1 C_{16}^1 .1^{14} .3^{14} .5^{14} \left( {1.3 + 3.5 + 5.1} \right) \\ \end{array}[/TEX]

eo, kinh khủng nhể........biểu thức dài mấy Km thế kia....@-):-*.....sợ quá......xem có cách nào khác ko đê....

 

[nerversaynever]

eo, kinh khủng nhể........biểu thức dài mấy Km thế kia....@-):-*.....sợ quá......xem có cách nào khác ko đê....

ko phải cái cách ngắn mà bạn muốn nói tới là cách này chứ |

[TEX]\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k x^{3k} } \sum\limits_{m = 0}^{16 - k} {C_{16 - k}^m \left( { - 9} \right)^m x^{2m} } \sum\limits_{n = 0}^{16 - k - m} {C_{16 - k - m}^n } 23^n x^n .\left( { - 15} \right)^{16 - k - m - n} \\ 3k + 2m + n = 4 \\ = > \left( {k;m;n} \right) = \left( {1;0;1} \right);\left( {0;2;0} \right);\left( {0;1;2} \right);\left( {0;0;4} \right) \\ \end{array}[/TEX]

 

[giathi95]

ko phải cái cách ngắn mà bạn muốn nói tới là cách này chứ |

[TEX]\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k x^{3k} } \sum\limits_{m = 0}^{16 - k} {C_{16 - k}^m \left( { - 9} \right)^m x^{2m} } \sum\limits_{n = 0}^{16 - k - m} {C_{16 - k - m}^n } 23^n x^n .\left( { - 15} \right)^{16 - k - m - n} \\ 3k + 2m + n = 4 \\ = > \left( {k;m;n} \right) = \left( {1;0;1} \right);\left( {0;2;0} \right);\left( {0;1;2} \right);\left( {0;0;4} \right) \\ \end{array}[/TEX]

cách của tớ cũng tương tự cách của cậu .

x^4==> i+2k+j=4

 

[tumonobeo]

[TEX]\begin{array}{l} P = \left( {x - 1} \right)^{16} \left( {x - 3} \right)^{16} \left( {x - 5} \right)^{16} \\ = \left( {\sum\limits_{k = 1}^{16} {C_{16}^k x^k \left( { - 1} \right)^{16 - k} } } \right)\left( {\sum\limits_{m = 1}^{16} {C_{16}^m x^m \left( { - 3} \right)^{16 - m} } } \right)\left( {\sum\limits_{n = 1}^{16} {C_{16}^n x^n \left( { - 5} \right)^{16 - n} } } \right) \\ = > h/s:C_{16}^k C_{16}^m C_{16}^n x^{k + m + n} \left( { - 1} \right)^{16 - k} \left( { - 3} \right)^{16 - m} \left( { - 5} \right)^{16 - n} \\ k + m + p = 4 \\ = > h/s:x^4 = C_{16}^4 .C_{16}^0 C_{16}^0 .1^{12} .3^{12} .5^{12} \left( {1^4 + 3^4 + 5^4 } \right) + C_{16}^3 .C_{16}^1 C_{16}^0 .1^{13} .3^{13} .5^{13} \left( {1^3 .3^2 + 1^2 .3^3 + 1^3 .5^2 + 1^2 .5^3 + 3^3 .5^2 + 3^2 .5^3 } \right) + C_{16}^2 .C_{16}^2 C_{16}^0 .1^{14} .3^{14} .5^{14} \left( {1^2 + 3^2 + 5^2 } \right) + C_{16}^2 .C_{16}^1 C_{16}^1 .1^{14} .3^{14} .5^{14} \left( {1.3 + 3.5 + 5.1} \right) \\ \end{array}[/TEX]

t nghĩ chỗ 1^4+3^4+5^4 phải là 1^4*3^4+3^4*5^4+5^4*1^4 chứ nhỉ??

 

[hoangcongminh123]

ai lam ho em vs tim he so cua x^5 trong khai trien p=x.(1-2x)^5+(1+3x)^10.x^2

 

[tuyetroimuahe_9x]

ai lam ho em vs tim he so cua x^5 trong khai trien p=x.(1-2x)^5+(1+3x)^10.x^2

$P = x(1-2x)^5 + (1+3x)^{10}.x^2$

Hệ số của $x^4$ trong khai triển $(a-2x)^5$ là: [TEX]C_5^4.1^1.2^4 = 80[/TEX]
\Rightarrow Hệ số của $x^5$ trong khai triển $x(1-2x)^5$ là 80

Hệ số của $x^3$ trong khai triển $(1+3x)^{10}$ là [TEX]C_{10}^3.1^7.3^3 =3240[/TEX]
\Rightarrow Hệ số của $x^5$ trong khai triển $(1+3x)^{10}.x^2$ là 3240

Vậy hệ số của $x^5$ trong khai triển P là 3320