[Toán 11] Vòng 1, 2 cuộc thi "Tranh tài toán học

[doigiaythuytinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Vòng 1:

TRANH TÀI TOÁN HỌC

* Bạn đang học lớp 11 và đã đăng kí tham gia cuộc thi tại đây

* Bạn tham gia cuộc thi với rất nhiều tham vọng và cả toan tính

[FONT=&quot]~.~.~.~ Và chắc hẳn, bạn đang hồi hộp chờ đợi …

[/FONT]

[FONT=&quot] ĐỀ THI VÒNG 1[/FONT]
​

Câu 1: (5d)
[tex](m+1)Sinx+mCosx=\frac{m-1}{Cosx}[/tex]
a) Gỉai PT khi [TEX]m=\frac{1}{2}[/TEX]
b) Tìm m để PT có nghiệm
c) Gỉa sử m là giá trị làm cho PT có nghiệm [TEX]x_1, x_2[/TEX] và [TEX]x_1 + x_2 \not=\ \frac{\pi}{2}+k\pi[/TEX]. Tính [TEX]sin2(x_1+x_2)[/TEX] theo m.

Câu 2: (3d)
Dãy số [TEX]{u_n}[/TEX] được xác định như sau:

[TEX]u_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}}[/TEX] ; [TEX]n=0,1,2,...[/TEX]

Chứnng minh rằng [TEX]u_n[/TEX] là số nguyên với mọi [TEX]n=0,1,2,..[/TEX]

Câu 3: (4d)
[TEX] 85%[/TEX] số taxi trong thành phố màu xám, còn lại là taxi màu xanh. Một tai nạn xảy ra và người chứng kiến nói rằng taxi gây tai nạn là màu xanh. Biết rằng người chứng kiến nhận đúng màu của taxi với xác suất [tex]80%[/tex]. Tính xác suất taxi xanh gây tai nạn.

Câu 4: (4d)
Cho tam giác [TEX]ABC[/TEX].Về phía ngoài tam giác dựng hai hình vuông [TEX]ACMN [/TEX] và [TEX]BCPQ[/TEX]. Chứng minh [TEX]AQ, BN[/TEX] và đường cao [TEX]CH[/TEX] của tam giác [TEX]ABC[/TEX] đồng qui.

Câu 5: (4d)
Tìm a để 2 PT sau tương đương
[TEX]Cos3x+4Cosx=0[/TEX]
[TEX]Sin^2x+a.Cosx=1+Cosx+(a^2-4)Sin7x[/TEX]

​

LƯU Ý:

Bài làm có thể trình bày theo 2 hình thức:

Cách 1: Gõ LATEX và gửi về tin nhắn cá nhân của doigiaythuytinh (cách này được ưu tiên hơn)
Cách 2: Trình bày trên file word và gửi về địa chỉ mail: toanhocmai@yahoo.com


Đề được post sớm hơn dự định nhưng topic đăng kí thì vẫn được kéo dài đến sáng mai


Hạn cuối nộp bài: 17h ngày 19- 3 (thứ 7 tuần sau )

 

[doigiaythuytinh]

Tình hình là chỉ 2 bạn nộp bài....

nhocngo976

bai2:

+ với n=1 ta có

\Rightarrow đúng

+ với n=2 ta có

\Rightarrow đúng

giả sử đúng đến n=k tức

đặt

ta cần chứng minh đúng với n=k+1. thật vậy, ta có:

Vậy

bài 5:

ĐK cần: để 2 phương trình tương đương thì phương trình (2) nhận

làm nghiệm

thay vào (2) ta có

ĐK đủ:

\Rightarrow (2) có 2 họ nghiệm \Rightarrow a=2 không thoả mãn

\Rightarrow (2) có 1 họ nghiệm

\Rightarrow a=-2 thoả mãn

Vậy để 2 phương trình tương đương thì a=-2

bài 1:

với đk trên

a, với

b, (1) có nghiệm

sot40doc

Câu 1:
bài làm
đk : [TEX]cos x \neq 0[/TEX]
[TEX]x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi[/TEX]
pt <=> [TEX](m+1)tan x + m = \frac{m-1}{cos^2 x} [/TEX]
[TEX](m+1)tan x + m = m-1 + (m-1)tan^2 x[/TEX]
[TEX] (m-1)tan^2 x - (m+1)tan x - 1 = 0[/TEX]

a/ [TEX]m=\frac{1}{2}[/TEX] => pt [TEX] -0,5 tan^2 x - 1,5 tan x -1 =0 [/TEX]
<=> [TEX] tan x = -1 V tan x = -2[/TEX]
<=> [TEX] x = \frac{3\pi}{4} + k\pi[/TEX] v [TEX]x= arctan -2 + k\pi[/TEX]
vậy nghiệm S = {[TEX]\frac{3\pi}{4} + k\pi ; arctan -2 + k\pi[/TEX]}
b/
m=1 => pt : -2tan x - 1 = 0
<=> tan x = [TEX]\frac{-1}{2}[/TEX] ( pt có nghiệm )
[TEX]m \neq 1[/TEX] ta có pt bậc 2 của tan x
pt có nghiệm <=> [TEX] \large \delta \geq 0[/TEX]
<=> [TEX](m+1)^2 + 4(m - 1) \geq 0 [/TEX]
<=> [TEX] m^2 + 6m - 3 \geq 0[/TEX]
<=> [TEX]m \in ( - \infty ; - 3 - \sqrt{12} ] \cup [-3 + \sqrt{12} ; +\infty ) [/TEX]
vậy [TEX]m \in ( - \infty ; - 3 - \sqrt{12} ] \cup [-3 + \sqrt{12} ; +\infty ) thì pt có nghiệm [/TEX]
Câu 2: bài làm
với n = 0 , [TEX]u_n = 0 \in Z[/TEX]
với n lẻ dương, ta có [TEX](2+\sqrt{3})^n - (2- \sqrt{3})^n = C{0\choose n}2^n + C{1\choose n}2^{n-1}\sqrt{3} + ... + C{{n-1} \choose n}2\sqrt{3}^{n-1} + C{n \choose n}\sqrt{3}^n - C{0 \choose n} + C{1 \choose n}2^{n-1}\sqrt{3} - ... - C{{n-1} \choose n}2\sqrt{3}^{n-1} + C{n \choose n}\sqrt{3}^n = 2\sqrt{3}(C{1\ choose n}2^{n-1} + ... + C{n \ choose n}\sqrt{3}^{n-1} )[/TEX][TEX] [/TEX]chia hết cho [TEX]2\sqrt{3}[/TEX] vì n lẻ => n-1 chẵn => [TEX]\sqrt{3}^{n-1} \in Z[/TEX]
với n chẵn dương , ta có
[TEX](2+\sqrt{3})^n - (2- \sqrt{3})^n = C{0\choose n}2^n + C{1\choose n}2^{n-1}\sqrt{3} + ... + C{{n-1} \choose n}2\sqrt{3}^{n-1} + C{n\choose n}\sqrt{3}^n - C{0 \choose n} + C{1\choose n}2^{n-1}\sqrt{3} - ... + C{{n-1} \choose n}2\sqrt{3}^{n-1} - C{n\choose n}\sqrt{3}^n = 2\sqrt{3}(C{1 \ choose n}2^{n-1} + ... + 2C{{n-1} \ choose n}\sqrt{3}^{n-2} ) [/TEX] chia hết cho [TEX]2\sqrt{3}[/TEX] vì n chẵn => n-2 chẵn => [TEX]\sqrt{3}^{n-2} \in Z[/TEX]
vậy với n [TEX]\in N[/TEX] thì [TEX]u_n \in Z[/TEX]

Câu 3:
bài làm
% taxi xanh trong thành phố là 100 - 85 = 15 %
ta có xác suất taxi xanh gây tai nạn = 0,15 . 0,8 . 100 = 12 %

Câu 5:
bài làm

pt 1 <=> [TEX]4cos^3 x - 3cos x + 4cos x = 0[/TEX]
<=> [TEX] 4cos^3 x + cos x = 0[/TEX]
<=> [TEX] cos x ( 4cos^2 x + 1) = 0[/TEX]
<=> cos x = 0 => | sin x | = 1
<=> [TEX] x = \frac{\pi}{2} + k\pi[/TEX]
2 pt tương đương <=> chúng có cùng tập nghiệm
=> pt 2 : [TEX] 1 + a . 0 = 1 + 0 + ( a^2 - 4) sin 7X[/TEX]
<=> [TEX](a^2 - 4) sin 7x = 0[/TEX]
<=> [TEX](a^2 - 4)^2 sin^2 7x = 0[/TEX]
ta có [TEX] sin^2 7x = 1[/TEX]
=> a = 2 V a = -2 thì 2 pt tương đương

cái phần tổ hợp e thấy chí hướng dẫn vậy nên nó có ( và ) , chị cố dịch hộ e nha

 

[doigiaythuytinh]

ĐỀ VÒNG 2:


Bài 1:Chứng minh rằng: phương trình [TEX]x^3 - 2x - 1 = 0[/TEX] có nghiệm trong khoảng [TEX](\sqrt[7]{27}; 2)[/TEX]

Bài 2:
Cho dãy số [TEX](u_n)[/TEX] được xác định như sau:
[TEX]u_n = 0[/TEX]
[TEX]u_{n+1} = \frac{u_n + 2010}{-u_n + 2012} (n=0,1,2...) [/TEX]

Chứng minh dãy số [TEX](u_n)[/TEX] có giới hạn và tìm [TEX]lim u_n[/TEX]

Đặt [TEX]T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{u_i - 2010}.[/TEX] Tính [TEX]lim \frac{T_n}{n+ 2011}[/TEX]

Bài 3:
Cho tứ diện [TEX]OABC[/TEX] có ba cạnh [TEX]OA, OB, OC[/TEX] đôi một vuông góc tại [TEX]O[/TEX]. Gọi [TEX]a, b, c[/TEX] lần lượt là các góc tạo bởi đường cao xuất phát từ [TEX]O[/TEX] với các cạnh [TEX]OA, OB, OC[/TEX]. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]T = \frac{cos a+ cos b}{cos^2c} + \frac{cos b + cos c}{cos^2 a} + \frac{cos c + cos a}{cos^2 b}[/TEX]


Hai bạn đã gửi bài ở vòng 1 mới có thể tham gia vòng 2.
Bài làm gửi về tin nhắn cá nhân của doigiaythuytinh. Hai bạn lưu ý hơn về cách trình bày

HẠN CHÓT: 27 -3

Đáp án vòng 1 mình sẽ post sau