[Toán 11] Ứng dụng hàm số liên tục

[maxqn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh pt sau luôn có nghiệm với mọi m
a. [TEX]x^3 + 2mx^2-(m+1)x+m+2=0[/TEX]
b. [TEX]\frac1{\sin{X}} + \frac2{\cos{x}} = m[/TEX]

Bài 2: Cho pt bậc 3 [TEX]ax^3+bx^2+cx-1=0[/TEX] trong đó a,b,c là các hằng số cho trước thỏa [TEX]2a+3b+5c=10[/TEX]. C/m pt đã cho luôn có nghiệm dương

Bài 3: Cho hsố [TEX]f(x)[/TEX] liên tục trên [TEX]\mathbb R[/TEX]. CMR nếu pt[TEX] f(x)=x[/TEX] vô nghiệm thì pt [TEX]f(f(x)) = x[/TEX] cũng vô nghiệm

Bài 4: CMR pt sau luôn có nghiệm dương với mọi m
[TEX]\frac1x - x^3+sqrt{x}=m[/TEX]

Trên là một số bài về hàm số liên tục. Tại gà phần này nên nhờ bà con hướng dẫn giúp , đc cái hdẫn giải nữa thì tốt. Tks trc ^^

 

[duynhan1]

Bài 1: Chứng minh pt sau luôn có nghiệm với mọi m
a. [TEX]x^3 + 2mx^2-(m+1)x+m+2=0[/TEX]
b. [TEX]\frac1{\sin{X}} + \frac2{\cos{x}} = m[/TEX]

Gợi ý :
a. Xét : [TEX]lim_{x \to + \infty} f(x) \ va\ \lim_{x \to - \infty} f(x) \ voi\ f(x) = x^3 + 2mx^2-(m+1)x+m+2[/TEX]

b. Xét : [TEX]lim_{x \to 0^-} f(x) \ va\ \lim_{x \to - \frac{\pi}{2} ^+} f(x) \ voi\ f(x) = \frac1{\sin{X}} + \frac2{\cos{x}} - m [/TEX]

Bài 2: Cho pt bậc 3 [TEX]ax^3+bx^2+cx-1=0[/TEX] trong đó a,b,c là các hằng số cho trước thỏa [TEX]2a+3b+5c=10[/TEX]. C/m pt đã cho luôn có nghiệm dương

[TEX]f(x) = ax^3 + b x^2 + cx-1 [/TEX]
Đối với dạng bài này, theo kinh nghiệm của mình thì bạn xét [TEX]f(0)[/TEX] và [TEX]f(\frac23)[/TEX] ( hệ số của a chia hệ số của b) sau đó áp dụng giả thiết vào cái f(2/3)


Bài 4: CMR pt sau luôn có nghiệm dương với mọi m
[TEX]\frac1x - x^3+sqrt{x}=m[/TEX]
[TEX]f(x) = \frac1x - x^3 + \sqrt{x} - m [/TEX]
Xét [TEX]\lim_{x \to 0+} f(x) \ va\ \lim_{x \to + \infty} f(x)[/TEX]

 

[maxqn]

Hè, vậy là mấy bài kia mình đi đúng hướng ^^. Còn mỗi bài 2. Lúc làm như thế thì [TEX]f(\frac23)=\frac{13-2c}{27}[/TEX] xong biện luận sao để f(2/3) dương nhỉ c? Đang vướng chỗ đó @_@

 

[bonoxofut]

Giả sử phương trình f(x) = x có nghiệm [TEX]x_o[/TEX].
[TEX]\Rightarrow f(x_o) = x_o \Rightarrow f(f(x_o)) = f(x_o) = x_o [/TEX] hay phương trình [TEX]f(x)=x[/TEX] cũng có nghiệm [TEX]x_o[/TEX] ( trái với giả thiết)
Vậy..........

Cái bài 3 của em sao anh thấy nó kỳ kỳ :-s Giả thiết là f(x) = x vô nghiệm mà, sao em phản chứng vậy được?

Nếu phản chứng thì phải bắt đầu bằng việc giả sử f(f(x)) = x có nghiệm chứ?

Anh sẽ làm bài này như sau. Vì f liên tục, mà f(x) = x không có nghiệm, nghĩa là với mọi x thì ảnh của nó qua f phải hoặc lớn hơn x, với mọi x trong R, hoặc bé hơn x với mọi x trong R.

Giả sử f(x) > x, với mọi x trong R, thì ta có: f(f(x)) > f(x) > x với mọi x trong R, do đó phương trình f(f(x)) = x là vô nghiệm.

Trường hợp f(x) < x, với mọi x trong R được làm một cách hoàn toàn tương tự.

Thân,

 

[duynhan1]

Hè, vậy là mấy bài kia mình đi đúng hướng ^^. Còn mỗi bài 2. Lúc làm như thế thì [TEX]f(\frac23)=\frac{13-2c}{27}[/TEX] xong biện luận sao để f(2/3) dương nhỉ c? Đang vướng chỗ đó @_@

Hi vậy làm cách này thử

TH1 : a>0 xét f(0) và [TEX]\lim_{x \to + \infty} f(x) [/TEX]

TH2 : a<0 xét f(0) và [TEX]f( \frac35) [/TEX]

TH3: a=0
\:d/

 

[maxqn]

Hè, bài 2 thì thầy t mới gợi ý chiều nay rồi
Xét [TEX]f(x) = ax^3+bx^x+cx -1 [/TEX]
[TEX] f(0)=-1 \\8f(\frac12)=a+2b+4c-8 \\ f(1)=a+b+c-1[/TEX]

[TEX]f(0) + f(\frac12) + f(1)=2a+3b+5c-10 = 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] có ít nhất 2 số trái dấu. Suy ra pt có nghiệm dương ^^

 

[duynhan1]

Hè, bài 2 thì thầy t mới gợi ý chiều nay rồi
Xét [TEX]f(x) = ax^3+bx^x+cx -1 [/TEX]
[TEX] f(0)=-1 \\8f(\frac12)=a+2b+4c-8 \\ f(1)=a+b+c-1[/TEX]

[TEX]f(0) + f(\frac12) + f(1)=2a+3b+5c-10 = 0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] có ít nhất 2 số trái dấu. Suy ra pt có nghiệm dương ^^

Thầy bạn có nói lý do vì sao chọn mấy cái f đó không
Nếu không nói thì coi như bài này chúng ta không học được gì cả!

Hi vậy làm cách này thử

TH1 : a>0 xét f(0) và [TEX]\lim_{x \to + \infty} f(x) [/TEX]

TH2 : a<0 xét f(0) và [TEX]f( \frac35) [/TEX]

TH3: a=0
\:d/

Tớ làm thử cách của tớ nhé !