N
noinhobinhyen
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bài 1. (hôm nay trường mình thi bài này chọn hsg)
Cho dãy $(a_n) : a_1 = \dfrac{1}{2009}$ và $a_{n+1} = 2009.a_n^2+a_n$
Gọi dãy $(b_n) : b_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{a_{k+1}}$
Hãy tìm giới hạn của dãy $(b_n)$
Lời giải của mình như sau:
Ta có $a_{n+1} - a_n = 2011.a_n^2 \geq 0 \Rightarrow (a_n)$ là dãy tăng.
Giả sử dãy $(a_n)$ có giới hạn và giới hạn đó là $a \geq \dfrac{1}{2011}$
$\Rightarrow a=2011.a^2+a \Leftrightarrow a=0$ (vô lí)
Vậy dãy $(a_n)$ không có giới hạn.
Ta có $\dfrac{a_k}{a_{k+1}} = \dfrac{a_k}{2011.a_k^+a_k} = \dfrac{1}{2011.a_k+1}$
$\Rightarrow b_n = \dfrac{1}{2011.a_1+1}+\dfrac{1}{2011.a_2+1}+...+ \dfrac{1}{2011.a_n+1}$
Có $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n(2011.a_n+1)} = \dfrac{1}{a_n}-\dfrac{2011}{2011a_n+1}$
$\Rightarrow \dfrac{2011}{2011a_n+1} = \dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}$
Từ đó suy ra $2011.b_n = (\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2})+(\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3})+...+(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}$
$\Leftrightarrow 2011.b_n = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{n+1}} = 2011-\dfrac{1}{a_{n+1}}$
Vì dãy $(a_n)$ không có giới hạn nên ta có $lim \dfrac{1}{a_{n+1}} = 0$
Từ đó suy ra $lim b_n = 1$
Cho dãy $(a_n) : a_1 = \dfrac{1}{2009}$ và $a_{n+1} = 2009.a_n^2+a_n$
Gọi dãy $(b_n) : b_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{a_{k+1}}$
Hãy tìm giới hạn của dãy $(b_n)$
Lời giải của mình như sau:
Ta có $a_{n+1} - a_n = 2011.a_n^2 \geq 0 \Rightarrow (a_n)$ là dãy tăng.
Giả sử dãy $(a_n)$ có giới hạn và giới hạn đó là $a \geq \dfrac{1}{2011}$
$\Rightarrow a=2011.a^2+a \Leftrightarrow a=0$ (vô lí)
Vậy dãy $(a_n)$ không có giới hạn.
Ta có $\dfrac{a_k}{a_{k+1}} = \dfrac{a_k}{2011.a_k^+a_k} = \dfrac{1}{2011.a_k+1}$
$\Rightarrow b_n = \dfrac{1}{2011.a_1+1}+\dfrac{1}{2011.a_2+1}+...+ \dfrac{1}{2011.a_n+1}$
Có $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n(2011.a_n+1)} = \dfrac{1}{a_n}-\dfrac{2011}{2011a_n+1}$
$\Rightarrow \dfrac{2011}{2011a_n+1} = \dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}$
Từ đó suy ra $2011.b_n = (\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2})+(\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_3})+...+(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n+1}}$
$\Leftrightarrow 2011.b_n = \dfrac{1}{a_1} - \dfrac{1}{a_{n+1}} = 2011-\dfrac{1}{a_{n+1}}$
Vì dãy $(a_n)$ không có giới hạn nên ta có $lim \dfrac{1}{a_{n+1}} = 0$
Từ đó suy ra $lim b_n = 1$