[Toán 11] Tổ hợp và xác suất

[sakura_bacgiang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét khai triển (((m-2)/n)*x^2 + x -m/n)*(x+1)^n với m,n thuộc N* và 2<m<n. CMR trong khai triển hẹ số của x^m bằng tổ hợp chập (m-2) của n phần tử.
Các bạn ơi giúp tớ với!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Tớ đang cần gấp lắm!
Ngày mai tớ phải nộp rùi!!!!!!!!!!!!!!
TT.TT
Giúp tớ nha mọi người!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Cảm ơn mọi người trước! @};-

 

[nguyenbahiep1]

Xét khai triển (((m-2)/n)*x^2 + x -m/n)*(x+1)^n với m,n thuộc N* và 2<m<n. CMR trong khai triển hẹ số của x^m bằng tổ hợp chập (m-2) của n phần tử.


[laTEX]( \frac{m-2}{n}.x^2 + x - \frac{m}{n}).(x+1)^n = \frac{m-2}{n}.x^2.(x+1)^n + x.(x+1)^n - \frac{m}{n}.(x+1)^n = A + B - C[/laTEX]


Hệ số thứ k+1 của khai triên A là

[laTEX]\frac{m-2}{n}.x^2.C_n^k .x^k\\ \\ k+ 2= m \Rightarrow k = m-2 \\ \\ heso_A = \frac{m-2}{n}.C_n^{m-2}[/laTEX]

Hệ số thứ k+1 của khai triên B là

[laTEX]x.C_n^k .x^k\\ \\ k+ 1= m \Rightarrow k = m-1 \\ \\ heso_B = C_n^{m-1}[/laTEX]

Hệ số thứ k+1 của khai triên C là

[laTEX]\frac{m}{n}.C_n^k .x^k\\ \\ k= m \\ \\ heso_C = \frac{m}{n}.C_n^{m}[/laTEX]

tổng các hế số có [laTEX]x^m[/laTEX] là

[laTEX]\frac{m-2}{n}.C_n^{m-2} + C_n^{m-1} - \frac{m}{n}.C_n^{m}[/laTEX]

đến đây cần chứng minh

[laTEX]\frac{m-2}{n}.C_n^{m-2} + C_n^{m-1} - \frac{m}{n}.C_n^{m} = C_n^{m-2}[/laTEX]

thật vậy

[laTEX]C_n^{m-1} = \frac{n-m+2}{m-1}.C_n^{m-2} \\ \\ \frac{m}{n}.C_n^{m} = \frac{(n-m+2)(n-m+1)}{n.(m-1)} .C_n^{m-2}\\ \\ \frac{m-2}{n}.C_n^{m-2} + C_n^{m-1} - \frac{m}{n}.C_n^{m} = ( \frac{m-2}{n} + \frac{n-m+2}{m-1} - \frac{(n-m+2)(n-m+1)}{n.(m-1)}).C_n^{m-2} = 1.C_n^{m-2} \Rightarrow dpcm[/laTEX]