[Toán 11]Tính giới hạn

[doremon.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
[TEX]\left{\begin{x_1 \in R}\\{x_{n+1}=x_n+\frac{1}{2}(cosx_n+sinx_n)} [/TEX]\foralln [TEX]\in N*[/TEX]

Tìm giới hạn của dãy số (nếu có ) tuỳ theo [TEX]x_1[/TEX]

bài 2

[TEX]\left{\begin{x_0=1 }\\{x_{n+1}=2 +\sqrt{x_n}-2.\sqrt{1+\sqrt{x_n}}} [/TEX]\forall[TEX]n \in N[/TEX]

Tính lim[TEX]_{n-->+\infty}(x_n)[/TEX]

Thanks nhiệt tình cho ai làm đúng

 

[ngomaithuy93]

Tớ ko đc học nhiều dạng về tìm CTTQ của dãy số nên bài làm dưới của tớ chỉ là xđ = cách ... mò thôi!:|
Bài 2: [TEX]x_{n+1}=(\sqrt{1+\sqrt{x_n}}-1)^2[/TEX]
CTTQ: [TEX]x_n=(\sqrt[2^n]{2}-1)^2[/TEX]
Vậy [TEX]\lim_{x\to+\infty}{x_n}[/TEX]
[TEX] = \lim_{x\to+\infty}{(\sqrt[2^n]{2}-1)^2[/TEX] [TEX]=-2[/TEX]

 

[doremon.]

Tớ ko đc học nhiều dạng về tìm CTTQ của dãy số nên bài làm dưới của tớ chỉ là xđ = cách ... mò thôi!:|
Bài 2: [TEX]x_{n+1}=(\sqrt{1+\sqrt{x_n}}-1)^2[/TEX]
CTTQ: [TEX]x_n=(\sqrt[2^n]{2}-1)^2[/TEX]
Vậy [TEX]\lim_{x\to+\infty}{x_n}[/TEX]
[TEX] = \lim_{x\to+\infty}{(\sqrt[2^n]{2}-1)^2[/TEX] [TEX]=-2[/TEX]

Tớ cũng vừa giải quyết con này xong
Post ở bên VMF thì thuytien92 giải S con này

 

[ngomaithuy93]

Tớ cũng vừa giải quyết con này xong
Post ở bên VMF thì thuytien92 giải S con này

VMF là cái gì thế?:|
Cậu dạy tớ mấy cái tìm CTTQ của dãy số đi doremon, tớ chỉ đc học mỗi dạng: [TEX]u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}[/TEX] thôi, ngoài ra tự tìm hiểu thêm thì ...ko vào đầu đc cái gì cả!:|

 

[doremon.]

Tớ cũng chỉ biết vài cái này thôi. Chuyên đề cô cũng k ôn cho n` dạng này
Đây là mấy cái tớ biết .Chẳng biết có giúp j` bạn & mọi người k nữa

[TEX]\left{\begin{u_1}\\{u_n=au_{n-1}+b \alpha^n} [/TEX]

Nếu [TEX]a=\alpha \Rightarrow u_n=b(n-1) \alpha ^n+u_. \alpha ^{n-1}[/TEX]

Nếu [TEX]n \neq \alpha [/TEX] , ta phân tích [TEX]\alpha ^n=k \alpha^n -ak \alpha^{n-1}[/TEX]
Khi đó [TEX]u_n= a^{n-1}(u_1-bk)+bk \alpha^n[/TEX]
Ta tìm được k=[TEX]\frac{\alpha}{\alpha-a}[/TEX]

[TEX]\left{\begin{u_0,u_1}\\{u_n-a.u_{n-1}+b.u_{n-2}=0} [/TEX]

giải pt bậc 2 rồi dựa vào CSN, CSC,...........

[TEX]\left{\begin{u_1,u_0}\\{u_n+a.u_{n-1}+bu_{n-2}=c\alpha^n} [/TEX]

Xét pt [tex] x^2+ax+b=0[/tex](1)
-Nếu (1) có 2 nghiệm khác [TEX]\alpha[/TEX] thì
[tex] u_n=px_1^n+qx_2^n+k.c.\alpha^n [/tex] với k=[tex]\frac{\alpha^2}{\alpha^2+a.\alpha+b}[/tex]

-Nếu pt (1) có nghiệm đơn x= [tex] \alpha[/tex] thì
[tex] u_n=px_1^n+qx_2^n+k.c.n.\alpha^n [/tex] với k=[tex] \frac{\alpha}{2.\alpha+a}[/tex]

-Nếu x= [tex] \alpha [/tex] là nghiệm của (1) thì
[tex] u_n=(p+qn+\frac{1}{2}c.n^2)\alpha^n[/tex]

p/s: Mỏi cả tay. Bạn tìm sách của thầy nguyễn tất thu , tớ cũng post mấy cái này trong đó
.

 

[nguyenminh44]

Sorry Doremon vì anh đọc tin nhắn của em hơi trễ. Hi vọng bài viết này giúp được gì đó cho em.

bài 2

[TEX]\left{\begin{x_0=1 }\\{x_{n+1}=2 +\sqrt{x_n}-2.\sqrt{1+\sqrt{x_n}}} [/TEX]\forall[TEX]n \in N[/TEX]

Tính lim[TEX]_{n-->+\infty}(x_n)[/TEX]

Thanks nhiệt tình cho ai làm đúng

Thực ra thì không nhất thiết phải tìm công thức dạng "hiện" của dãy số. Ta có thể giải bài toán mà chỉ dùng các kiến thức trong SGK.

- Trước hết chứng minh dãy số có giới hạn:
[TEX]x_{n+1}=(\sqrt{\sqrt{x_n}+1}-1)^2 \Rightarrow \sqrt{x_{n+1}}+1=\sqrt{\sqrt{x_n}+1} \leq \sqrt{x_n}+1[/TEX]

[TEX] \Rightarrow x_{n+1}<x_n[/TEX] (Thử giải thích từng bước xem ? )

Vậy dãy số này giảm và hơn nữa nó bị chặn dưới ( [TEX]x_n > 0 \ \ \forall n[/TEX] (vì sao thế nhỉ? )). Do đó tồn tại giới hạn ( gọi là a).

-Việc tìm giới hạn bây giờ là vô cùng đơn giản. Ta có

[TEX] a=(\sqrt{a+1}-1)^2 \Leftrightarrow a=0[/TEX]
(Chú ý rằng khi n tiến tới vô cùng thì [TEX]x_n=x_{n+1}=a[/TEX]

----------------

Việc tìm công thức tổng quát dạng 'hiện' thay cho công thức truy hồi (kiểu phương trình hồi quy) không được trình bày trong SGK, do đó nên hạn chế sử dụng.

 

[ngomaithuy93]

Sorry Doremon vì anh đọc tin nhắn của em hơi trễ. Hi vọng bài viết này giúp được gì đó cho em.



Thực ra thì không nhất thiết phải tìm công thức dạng "hiện" của dãy số. Ta có thể giải bài toán mà chỉ dùng các kiến thức trong SGK.

- Trước hết chứng minh dãy số có giới hạn:
[TEX]x_{n+1}=(\sqrt{\sqrt{x_n}+1}-1)^2 \Rightarrow \sqrt{x_{n+1}}+1=\sqrt{\sqrt{x_n}+1} \leq \sqrt{x_n}+1[/TEX]

[TEX] \Rightarrow x_{n+1}<x_n[/TEX] (Thử giải thích từng bước xem ? )

Vậy dãy số này giảm và hơn nữa nó bị chặn dưới ( [TEX]x_n > 0 \ \ \forall n[/TEX] (vì sao thế nhỉ? )). Do đó tồn tại giới hạn ( gọi là a).

-Việc tìm giới hạn bây giờ là vô cùng đơn giản. Ta có

[TEX] a=(\sqrt{a+1}-1)^2 \Leftrightarrow a=0[/TEX]
(Chú ý rằng khi n tiến tới vô cùng thì [TEX]x_n=x_{n+1}=a[/TEX]

----------------

Việc tìm công thức tổng quát dạng 'hiện' thay cho công thức truy hồi (kiểu phương trình hồi quy) không được trình bày trong SGK, do đó nên hạn chế sử dụng.

Cách của anh rất hay (vì em ko biết tìm CTTQ của dãy số )!
Nhưng nhiều khi ko dễ dàng gì để c/m dãy số bị chặn. Vậy lúc ấy phải làm sao ạ???:khi:

 

[nguyenminh44]

Cách của anh rất hay (vì em ko biết tìm CTTQ của dãy số )!
Nhưng nhiều khi ko dễ dàng gì để c/m dãy số bị chặn. Vậy lúc ấy phải làm sao ạ???:khi:

) Hỏi hay lắm, thực tế có những dãy mình chẳng thể khẳng định nó tăng hay giảm hay có bị chặn không nữa.
Tất nhiên là sẽ phải có cách giải khác, ví dụ như giả vờ cho nó bị chặn, hoặc ép nó phải tăng, giảm... chẳng hạn.

Trước đây anh từng post mấy bài giới hạn, nhưng mãi chẳng thấy ai giải, hình như không mấy người quan tâm đến phần này thì phải
Cái này suốt từ hồi 6/2008, các em thử làm xem sao nhé, không cần phải dùng những phương pháp cao siêu, cứ cơ bản mà làm. Anh sẽ post lời giải sau.
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=23583

Cho dãy số có số hạng tổng quát cho theo công thức truy hồi

[tex]U_n=sqrt{3+U_{n-1}}[/tex] [tex](n\ge2)[/tex]

Với [tex]U_1>-3[/tex]
Chứng minh rằng khi n tiến đến vô cùng thì dãy số tiến đến một giới hạn xác định. Tìm giới hạn đó

 

[ngomaithuy93]

Cho dãy số có số hạng tổng quát cho theo công thức truy hồi:[tex]U_n=sqrt{3+U_{n-1}}[/tex] [tex](n\ge2)[/tex] Với [tex]U_1>-3[/tex]
Chứng minh rằng khi n tiến đến vô cùng thì dãy số tiến đến một giới hạn xác định. Tìm giới hạn đó

[TEX]u_n=\sqrt{3+u_{n-1}}[/TEX]
[TEX]N/x: u_1=\sqrt{3}=2cos.\frac{\pi}{6}[/TEX]
[TEX]u_2=\sqrt{u_1+\sqrt{3}}=2cos.\frac{\pi}{12}[/TEX]

[TEX]...[/TEX]
[TEX] u_n=2cos.\frac{\pi}{3.2^n}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\lim_{n\to\infty}u_n=2[/TEX]
Thú thật với anh là em vẫn chưa biết vận dụng cách anh đã giới thiệu để tìm lim ạ! Anh làm ơn giúp bọn em với ạ! ^^

 

[silvery21]

Bài 1

[TEX]\left{\begin{x_1 \in R}\\{x_{n+1}=x_n+\frac{1}{2}(cosx_n+sinx_n)} [/TEX]n [TEX]\in N*[/TEX]



Tìm giới hạn của dãy số (nếu có ) tuỳ theo [TEX]x_1[/TEX]

đây là bài giải của thầy ......

Đặt `[(7pi-4x_1)/(8pi)]=k\in ZZ; \y_n=(3pi)/4-x_n-k2\pi` có `y_1\in (-pi; \pi]` và `y_(n+1)=y_n-qsiny_n` với `q=(sqrt2)/2`. Thêm nữa hàm `f(x)=x-qsinx` lại là hàm lẻ nên ta chỉ cần xét sự hội tụ của `y_n` với `y_1\in [0; \pi]`.

Mặt khác do `x\ge sinx\ge 0 \ \AA \x\in [0; \pi]` nên `0\le x(1-q)\le x-qsinx\le x \ \AA \x\in [0; \pi]` nói khác đi `f([0; \pi])\sub [0; \pi]`. Từ đó dãy `y_n` bị chặn thêm nữa lại là dãy không tăng khi `y_1\in [0; \pi]`.
Vậy `y_n` hội tụ đến `l\in [0; \pi]` khi `y_1\in [0; \pi]` do đó:

-Nếu `y_1\in [0; \pi)` thì từ `l=l-qsinl` có ngay `sinl=0` mà do dãy ko tăng và bị chặn dưới bởi `0` nên `0\le l\le y_1<\pi` . Vậy `l=0` tức `lim\x_n=(3pi)/4-2pi.[(7pi-4x_1)/(8pi)]`.

-Nếu `y_1=\pi` dãy `y_n` là dãy hằng `y_n=pi \ \AA \n\in NN^*` và `x_n` cũng là dãy hằng `x_n=(7pi)/4-2pi.[(7pi-4x_1)/(8pi)] \ \AA \n\in NN^*`.

-Nếu `y_1\in (-pi; 0]<=>-y_1\in [0; \pi)` từ nhận xét trên có ngay `-y_n` hội tụ đến `0` tức `x_n` hội tụ đến `(3pi)/4-2pi.[(7pi-4x_1)/(8pi)]`.

 

[nguyenminh44]

Cho dãy số có số hạng tổng quát cho theo công thức truy hồi

[tex]U_n=sqrt{3+U_{n-1}}[/tex] [tex](n\ge2)[/tex]

Với [tex]U_1>-3[/tex]
Chứng minh rằng khi n tiến đến vô cùng thì dãy số tiến đến một giới hạn xác định. Tìm giới hạn đó

[TEX]u_n=\sqrt{3+u_{n-1}}[/TEX]
[TEX]N/x: u_1=\sqrt{3}=2cos.\frac{\pi}{6}[/TEX]
[TEX]u_2=\sqrt{u_1+\sqrt{3}}=2cos.\frac{\pi}{12}[/TEX]

[TEX]...[/TEX]
[TEX] u_n=2cos.\frac{\pi}{3.2^n}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\lim_{n\to\infty}u_n=2[/TEX]
Thú thật với anh là em vẫn chưa biết vận dụng cách anh đã giới thiệu để tìm lim ạ! Anh làm ơn giúp bọn em với ạ! ^^

Bài này thuộc dạng dãy số phụ thuộc vào [tex]u_1[/tex]. Chú ý ở đây bài toán chưa cho [tex]u_1[/tex] (điều kiện > -3 chỉ là làm thỏa mãn điều kiện căn thức mà thôi).
Số 3 cho kết quả hơi... xấu, anh thay số 6 để cho đẹp nhé.(Sau đó em thử làm lại với đề bài cũ xem)

[tex]U_n=sqrt{6+U_{n-1}}[/tex] [tex](n\ge2)[/tex]

Với [tex]U_1>-6[/tex]

Dự đoán giới hạn:
Giải pt [tex] x=\sqrt{x+6}[/tex] ta thu được kết quả là 3.
Bây giờ ta đi CM dãy số hội tụ tại 3:
- Trường hợp [tex]u_1>3[/tex] em hãy cm rằng dãy giảm và bị chặn dưới.
-Trường hợp [tex] u_1 < 3[/tex] cm dãy tăng và bị chặn trên.
-TH [tex]u_1=3[/tex] là trường hợp dãy số không đổi.
KL Trong mọi TH, dãy đều hội tụ đến giá trị 3

--------------

Anh còn một cách rất "tà đạo" để tìm giới hạn . Lúc nào rỗi anh sẽ post.
-------------
Cuối cùng: với những bài mà em đã "mò" ra được CTTQ thì có thể dùng phép quy nạp để chứng minh, bài giải vẫn được chấp nhận.

 

[ngomaithuy93]

Bài này thuộc dạng dãy số phụ thuộc vào [tex]u_1[/tex]. Chú ý ở đây bài toán chưa cho [tex]u_1[/tex] (điều kiện > -3 chỉ là làm thỏa mãn điều kiện căn thức mà thôi).
Số 3 cho kết quả hơi... xấu, anh thay số 6 để cho đẹp nhé.(Sau đó em thử làm lại với đề bài cũ xem)

Dự đoán giới hạn:
Giải pt [tex] x=\sqrt{x+6}[/tex] ta thu được kết quả là 3.
Bây giờ ta đi CM dãy số hội tụ tại 3:
- Trường hợp [tex]u_1>3[/tex] em hãy cm rằng dãy giảm và bị chặn dưới.
-Trường hợp [tex] u_1 < 3[/tex] cm dãy tăng và bị chặn trên.
-TH [tex]u_1=3[/tex] là trường hợp dãy số không đổi.
KL Trong mọi TH, dãy đều hội tụ đến giá trị 3

--------------

Anh còn một cách rất "tà đạo" để tìm giới hạn . Lúc nào rỗi anh sẽ post.
-------------
Cuối cùng: với những bài mà em đã "mò" ra được CTTQ thì có thể dùng phép quy nạp để chứng minh, bài giải vẫn được chấp nhận.

Em đã thử dùng cách của anh để làm đề cũ nhưng ko đc! Ko biết là em làm sai ko nhưng nếu theo cách này thì: Nếu [TEX]u_1>\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/TEX] thì dãy tăng lại bị chặn dưới thì làm sao hội tụ tại 1 điểm đc ạ?
Anh nguyenminh nói còn cách làm tà đạo gì để tính lim làm em ... tò mò quá!

 

[doremon.]

đây là bài giải của thầy ......

Bạn viết lại đi .Bài bạn khó nhìn quá !

 

[nguyenminh44]

bài 2

[TEX]\left{\begin{x_0=1 }\\{x_{n+1}=2 +\sqrt{x_n}-2.\sqrt{1+\sqrt{x_n}}} [/TEX]\forall[TEX]n \in N[/TEX]

Tính lim[TEX]_{n-->+\infty}(x_n)[/TEX]

Đây là cách "tà đạo" mà anh nói: Sử dụng máy tính bỏ túi (tốt nhất là fx570MS). Với những bạn đã từng tham gia thi HSG giải toán bằng MTBT thì chắc sẽ rất quen với phương pháp truy hồi này.

Quy trình nhấn phím:
1 = 2 + căn ans - 2 căn ( 1 + căn ans )
Sau đó nhấn = liên tiếp đến khi thu được một số không đổi. Đó chính là điểm hội tụ của dãy
Trong quá trình nhấn phím = nhớ để ý đến các kết quả trung gian xem dãy số là tăng hay giảm, từ đó đề ra hướng chứng minh.

[TEX] U_n=\sqrt{6+U_{n-1}}[/TEX]

Ở đây không cho trước U1, ta có thể tự cho nó một giá trị ( 5 chẳng hạn).
Quy trình nhấn phím:
5 = căn ( 6 + ans )
Nhấn = liên tiếp đến khi thu được số không đổi. Đó là giá trị hội tụ của dãy.

Để hiểu rõ hơn phương pháp này, anh sẽ viết một quy trình khác (phần chữ đen). Chú ý chỉ dùng với máy fx570 :

5 shift STO A (gán 5 cho A)
1 shift STO N (gán 1 cho n)
alpha N alpha = (dấu = màu đỏ ở phía trên í) alpha N + 1 (tăng dần n)
alpha : (dấu : màu đỏ ở phía trên) (hết một biểu thức)
alpha A alpha = (dấu = đỏ) căn ( 6 + alpha A ) ( tính biểu thức vế phải, sau đó lại gán vào A)
Nhấn = (màu trắng) liên tiếp

Em có thấy nó rất giống với thuật toán trong Pascal không?
-----------------
Với những bài toán phức tạp hơn: [TEX]U_n = F(U_{n-1},U_{n-2})[/TEX] thì cần gán giá trị cho 2 biến A,B và biểu thức truy hồi cũng sẽ phức tạp hơn. Các em thử tự mình viết quy trình xem. Cũng không khó đâu

 

[ngomaithuy93]

Đây là cách "tà đạo" mà anh nói: Sử dụng máy tính bỏ túi (tốt nhất là fx570MS). Với những bạn đã từng tham gia thi HSG giải toán bằng MTBT thì chắc sẽ rất quen với phương pháp truy hồi này.

Quy trình nhấn phím:
1 = 2 + căn ans - 2 căn ( 1 + căn ans )
Sau đó nhấn = liên tiếp đến khi thu được một số không đổi. Đó chính là điểm hội tụ của dãy
Trong quá trình nhấn phím = nhớ để ý đến các kết quả trung gian xem dãy số là tăng hay giảm, từ đó đề ra hướng chứng minh.



Ở đây không cho trước U1, ta có thể tự cho nó một giá trị ( 5 chẳng hạn).
Quy trình nhấn phím:
5 = căn ( 6 + ans )
Nhấn = liên tiếp đến khi thu được số không đổi. Đó là giá trị hội tụ của dãy.

Để hiểu rõ hơn phương pháp này, anh sẽ viết một quy trình khác (phần chữ đen). Chú ý chỉ dùng với máy fx570 :

5 shift STO A (gán 5 cho A)
1 shift STO N (gán 1 cho n)
alpha N alpha = (dấu = màu đỏ ở phía trên í) alpha N + 1 (tăng dần n)
alpha : (dấu : màu đỏ ở phía trên) (hết một biểu thức)
alpha A alpha = (dấu = đỏ) căn ( 6 + alpha A ) ( tính biểu thức vế phải, sau đó lại gán vào A)
Nhấn = (màu trắng) liên tiếp

Em có thấy nó rất giống với thuật toán trong Pascal không?
-----------------
Với những bài toán phức tạp hơn: [TEX]U_n = F(U_{n-1},U_{n-2})[/TEX] thì cần gán giá trị cho 2 biến A,B và biểu thức truy hồi cũng sẽ phức tạp hơn. Các em thử tự mình viết quy trình xem. Cũng không khó đâu

Như vậy thì giá trị hội tụ ấy chính là lim của dãy ạ?
Cách này chắc chỉ dùng để kiểm tra kết quả thôi phải ko ạ?
Nếu dùng máy tính fx-500MS thì em thấy thực ra đây là cách tìm 1 số số hạng đầu dãy số để xét tính tăng giảm ạ!
Anh làm thử hoàn chỉnh 1 bài tính lim dãy số dùng máy tính đc ko ạ? Em thấy vẫn ...thế nào ấy ạ!

 

[silvery21]

[TEX]\left{\begin{u_1 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}} {2}}\\{u_n=\sqrt{2+u_{n-1}} [/TEX]n [TEX]\in N*[/TEX]



tim [TEX]lim 2^n \sqrt{2-u_{n}}[/TEX]
@ ko can cm day so co g/h nua nhe' )

 

[silvery21]

cho dãy [TEX](x_n) ;[/TEX]

[TEX]\left{\begin{x_1 =2}\\{x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n^2+1)} [/TEX]\foralln [TEX]\in N*[/TEX]

đặt [TEX]S_n= \frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+.......+\frac{1}{1+x_n}[/TEX]

tìm phần nguyên của [TEX]S_{2009}[/TEX]; tính [TEX]lim S_n[/TEX] khi [TEX]n -> \infty[/TEX]