[Toán 11] Tìm min, max của hàm lượng giác

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm min, max của hàm lượng giác sau:
a) $y=\sin ^n x + \cos ^n x$ với n là số nguyên dương chẵn
b) $y=\sin ^m x + \cos ^m x$ với m là số nguyên dương lẻ

 

[vy000]

a)
Tìm GTNN
Với n nguyễn dương chẵn,đặt $n=2k$ với $k \in \mathbb{Z^+}$
$y= \sin^nx+\cos^nx \\ = (\sin^2x)^k+(\cos^2x)^k$

Đặt $\sin^2x=a ; cos^2x=b$ với $a;b \ge 0 ; a+b=1$

$y=a^k+b^k \ge \dfrac{(a+b)^k}{2^{k-1}}=\dfrac1{2^{k-1}}$

Tìm GTLN
Do $0 \le a;b ; a+b=1$
Có: $y=a^k+b^k \le a+b=1$

b) Có $2(\sin^{2k+1}x+\cos^{2k+1}x) \ge (\sin^{2k}+\cos^{2k})(\sin x+\cos x)$

Dễ cm: $-(\sin x+\cos x) \le \sqrt 2$
\Leftrightarrow $-(\sin^{2k}+\cos^{2k})(\sin x+\cos x) \le (\sin^{2k}+\cos^{2k})\sqrt 2 \le \sqrt 2$
\Rightarrow $(\sin^{2k}+\cos^{2k})(\sin x+\cos x) \ge -\sqrt2$
ok
Tìm GTLN thì y câu trên nhoé ^^