[Toán 11]Tam giác lượng

N

ngomaithuy93

713075 said:
:confused:Cho tg ABC co:
1,sin(A/2).sin(B/2).sin(C/2)= cosA.cosB.cosc
cm tam giac ABC đều.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX] sin.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}=cosAcosBcosC[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{2}(cos.\frac{A-B}{2} - sin.\frac{C}{2})sin.\frac{C}{2}=\frac{1}{2}[cos(A-B) - cosC]cosC[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{4}sin.\frac{A-B-C}{2} - \frac{1}{4}sin.\frac{A-B+C}{2} - \frac{1}{2}sin^2\frac{C}{2} = \frac{1}{2}cos(A-B-C) + \frac{1}{2}cos(A-B+C) - \frac{1}{2}cos^2C[/TEX]
Áp dụng nốt công thức nhân đôi và nhóm hợp lí sẽ đc đpcm. XIn lỗi tớ phải đi học ngay bây giờ!:D
 
R

rua_it

[tex]sin(\frac{A}{2}).sin(\frac{B}{2}).sin(\frac{C}{2})= cosA.cosB.cosC[/tex]

[tex]cosAcosB \leq {[\frac{cosA+cosB}{2}]}^2=cos^2\frac{A+B}{2}cos^2\frac{A-B}{2} \leq sin^2\frac{C}{2}(1) [/tex]
Tương tự
[tex]cosBcosC \leq {\frac{cosB+cosC}{2}}^2= cos^2.\frac{B+C}{2}cos^2.\frac{B-C}{2} \leq sin^2.\frac{A}{2} (2)[/tex]
[tex]cosCcosA \leq {\frac{cosC+cosA}{2}}^2=cos^2.\frac{C+A}{2}cos^2. \frac{C-A}{2} \leq sin^2.\frac{B}{2}(3)[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=B=C
[tex](1),(2)&(3) \Rightarrow cos^2Acos^2Bcos^2C \leq sin^2.\frac{A}{2}sin^2.\frac{B}{2}sin^2.\frac{C}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosAcosBcosC \leq sin.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}[/tex]
Dấu bằng xảy ra [tex]\Leftrightarrow A=B=C \Rightarrow dpcm[/tex]
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

2,cosA.2.a.b.c=(a+b)(b+c-a)(c+a-b)
cm tg ABC vuông
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]cosA.2.a.b.c=(a+b)(b+c-a)(c+a-b)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosA=\frac{(a+b)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosA=2.\frac{2R(sinA+sinB).2R(sinB+sinC-sinA).2R(sinC+sinA-sinB)}{4.2RsinA.2RsinB.2RsinC}[/tex]

[tex]=16.\frac{cos.\frac{C}{2}.cos.\frac{A-B}{2}cos.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}cos.\frac{B}{2}sin.\frac{A}{2}sin.\frac{C}{2}}{2sinAsinBsinC}[/tex]

[tex]=2.\frac{[2sin.\frac{C}{2}cos.\frac{C}{2}][2sin.\frac{A}{2}cos.\frac{A}{2}][2sin.\frac{B}{2}cos.\frac{B}{2}]cos.\frac{A-B}{2}sin.\frac{C}{2}}{sinAsinBsinC}[/tex]

[tex]=2sin.\frac{C}{2}cos.\frac{A-B}{2}=2cos.\frac{A+B}{2}cos.\frac{A-B}{2}=cosA+cosB[/tex]
[tex]\Rightarrow cosA=cosA+cosB[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosB=0 \Leftrightarrow B=\frac{\pi}{2} \Rightarrow dpcm[/tex]
Thanks em phát:eek:
 
L

latdatdethuong137

rua_it said:
[tex]cosA.2.a.b.c=(a+b)(b+c-a)(c+a-b)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosA=\frac{(a+b)(b+c-a)(c+a-b)}{2abc}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosA=2.\frac{2R(sinA+sinB).2R(sinB+sinC-sinA).2R(sinC+sinA-sinB)}{4.2RsinA.2RsinB.2RsinC}[/tex]

[tex]=16.\frac{cos.\frac{C}{2}.cos.\frac{A-B}{2}cos.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}cos.\frac{B}{2}sin.\frac{A}{2}sin.\frac{C}{2}}{2sinAsinBsinC}[/tex]

[tex]=2.\frac{[2sin.\frac{C}{2}cos.\frac{C}{2}][2sin.\frac{A}{2}cos.\frac{A}{2}][2sin.\frac{B}{2}cos.\frac{B}{2}]cos.\frac{A-B}{2}sin.\frac{C}{2}}{sinAsinBsinC}[/tex]

[tex]=2sin.\frac{C}{2}cos.\frac{A-B}{2}=2cos.\frac{A+B}{2}cos.\frac{A-B}{2}=cosA+cosB[/tex]
[tex]\Rightarrow cosA=cosA+cosB[/tex]
[tex]\Leftrightarrow cosB=0 \Leftrightarrow B=\frac{\pi}{2} \Rightarrow dpcm[/tex]
Thanks em phát:eek:
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ở phép biến đổi thứ 3 là 32 chứ không phải 16 đâu bạn ạ
 
T

thanvan93

giải thêm cái này giúp tui với
tam giác ABC thoả 1+ cosAcosBcosC = 9sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) thì tam giác ABC là tam giác đều
 
R

rua_it

thanvan93 said:
giải thêm cái này giúp tui với
tam giác ABC thoả 1+ cosAcosBcosC = 9sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) thì tam giác ABC là tam giác đều
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta cần đi chứng minh đẳng thức:
[tex]sinA+sinB+sinC =4sinAsinBsinC(*)[/tex]
Thật vậy, [tex]sinA+sinB+sinC=2sin.\frac{A+B}{2}cos.\frac{A-B}{2}+2sin.\frac{C}{2}cos.\frac{C}{2}[/tex]
[tex]=4cos.\frac{A}{2}cos.\frac{B}{2}cos.\frac{C}{2}(dpcm)[/tex]
Áp dụng [tex](*)[/tex], ta có: [tex]1+cosAcosBcosC=9sin.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow sin^2A+sin^2B+sin^2C=18sin.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow(sin^2A+sin^2B+sin^2C)(sinA+sinB+sinC)[/tex]
[tex]=(sinA+sinB+sinC).sin.\frac{A}{2}sin.\frac{B}{2}sin.\frac{C}{2}.18=9sinAsinBsinC (1)[/tex]
Mặt khác, theo Cauchy ta lại có:
[tex]sin^2A+sin^2B+sin^2C \geq 3\sqrt[3]{sin^2Asin^2Bsin^2C}[/tex]
[tex]sinA+sinB+sinC \geq 3\sqrt[3]{sinAsinBsinC}[/tex]
[tex]\Rightarrow(sin^2A+sin^2B+sin^2C)(sinA+sinB+sinC) \geq 9.\sqrt[3]{sin^3Asin^3Bsin^3C}=sinAsinBsinC[/tex]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]SinA=sinB=SinC[/tex] hay [tex]A=B=C \Rightarrow dpcm[/tex]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom