[Toán 11] Quy nạp toán học

[lethithuydungdn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh $\forall$ số nguyên dương n, ta luôn có:
$n!>3^n$ với $n \geq 7$

 

[lethithuydungdn]

Khi $n=7$ ta có
$VT=7!=5040\\VP=3^7=2187$
Nên $VT>VP$ (BDT đúng)
Giả sử BDT đúng khi $n=k,\ k>7$ tức là
$k!>3^k$
Ta cần chứng minh BDT cũng đúng khi $n=k+1,\ k>7$ tức là
$(k+1)!>3^{k+1}$
Thật vậy ta có
$(k+1)!=(k+1).k!>(k+1).3^k>8.3^k>3.3^k$(vì k>7)
Nên $(k+1)!>3^{k+1}$
Vậy $\forall n\geq 7$ thì $n!>3^n$

Bạn giải thích dòng thứ 3 từ dưới lên lại giúp mình với!

 

[newstarinsky]

ta có $k!=k.(k-1).(k-2)...............2.1\\
(k+1)!=(k+1).k.(k-1)(k-2)...............2.1=(k+1).k!$
Theo giả thiết quy nạp thì $k!>3^k\Rightarrow (k+1).k!>(k+1).3^k$
Do k>7 nên k+1>8>3

 

[newstarinsky]

Khi $n=7$ ta có
$VT=7!=5040\\VP=3^7=2187$
Nên $VT>VP$ (BDT đúng)
Giả sử BDT đúng khi $n=k,\ k>7$ tức là
$k!>3^k$
Ta cần chứng minh BDT cũng đúng khi $n=k+1,\ k>7$ tức là
$(k+1)!>3^{k+1}$
Thật vậy ta có
$(k+1)!=(k+1).k!>(k+1).3^k>8.3^k>3.3^k$(vì k>7)
Nên $(k+1)!>3^{k+1}$
Vậy $\forall n\geq 7$ thì $n!>3^n$


________________________________________________________________________________________

 

[zipchai]

*Với n=7 ta được 7!>3^7(đúng)
* giả sử BDT đúng khi n=k≥7.Tức là k!>3^k
Ta cần chứng minh BDT cũng đúng khi n=k+1
Nghĩa là ta cần chứng minh
(k+1)!>3^(k+1)
Thật vậy VT (k+1)!=(k+1)K!>3^(k+1) ( vì K!>3!,K+1>3)