Cho tam giác ABC , chứng minh trung điểm 3 cạnh, chân 3 đường cao và trung điểm các đoạn nối trực tâm với 3 đỉnh cùng nằm trên 1 đường tròn (đường tròn Ole)
Đặt [tex]A_1;A_2;A_3;B_1;B_2;B_3;C_1;C_2;C_3[/tex] lần lượt là trung điểm 3 cạnh AB,AC,CA; chân 3 đường cao kẻ từ A,B,C; trung điểm HA,HB,HC.
Ta có:
[TEX]\left{\begin{A_1A=A_1B}\\{A_2A=A_2C}[/TEX]
\Rightarrow[tex]A_1A_2[/tex] là đường trung bình [tex] \triangle \ ABC[/tex] \Rightarrow [tex]A_1A_2=\frac{1}{2}BC[/tex] và [tex]\ A_1A_2 // BC[/tex](1)
[TEX]\left{\begin{C_2H=C_2B}\\{C_3C=C_3H}[/TEX]
\Rightarrow[tex]C_2C_3[/tex] là đường trung bình [tex] \triangle \ HBC[/tex] \Rightarrow [tex]C_2C_3=\frac{1}{2}BC[/tex] và [tex] C_2C_3 // BC[/tex](2)
Ta lại có:
[TEX]\left{\begin{A_2A=A_2C}\\{C_3H=C_3C}[/TEX]
\Rightarrow[tex]A_2C_3[/tex] là đường trung bình [tex] \triangle \ HAC[/tex] \Rightarrow [tex]A_2C_3=\frac{1}{2}AH[/tex] và [tex] A_2C_3 // AH[/tex](3)
[TEX]\left{\begin{A_1A=A_1B}\\{C_2B=C_2H}[/TEX]
\Rightarrow[tex]A_1C_2[/tex] là đường trung bình [tex] \triangle \ HAB[/tex] \Rightarrow [tex]A_1C_2=\frac{1}{2}AH[/tex] và [tex]A_1C_2 // AH[/tex](4)
Từ (1)(2)(3)(4) \Rightarrow [tex]A_2A_1C_2C_3[/tex] là hình chữ nhật.
CM tương tự, ta có: [tex]A_1A_3C_3C_1[/tex] và [tex]A_3A_2A_1C_2[/tex]
là hình chữ nhật \Rightarrow [tex]dpcm.[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
