[Toán 11] nhị thức

[l94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho m/n/p là số nguyên dương và p \leq m , p \leq n:
chứng minh:
[tex]C^p_{m+n}=C^0_nC^p_m+C^1_nC^{p-1}_m+...+C^p_nC^0_m[/tex]

 

[tuyn]

Xét khai triển:
[TEX](1+x)^n.(1+x)^m= \sum\limits_{i=0}^{n}C_n^ix^i. \sum\limits_{j=0}^{m}C_m^jx^j[/TEX]
[TEX]= \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{m}C_n^iC_m^jx^{i+j}[/TEX]
Hệ số của [TEX]x^p[/TEX] trong khai triển thoả mãn i+j=p
\Rightarrow Hệ số của [TEX]x^p[/TEX] là:
[TEX]C_n^0C_m^p+C_n^1C_m^{p-1}+...+C_n^{p-1}C_m^1+C_n^pC_m^0[/TEX]
Mặt khác ta có:
[TEX](1+x)^n.(1+x)^m=(1+x)^{m+n}= \sum\limits_{k=0}^{m+n}C_{m+n}^kx^k[/TEX]
\Rightarrow hế số của [TEX]x^p[/TEX] là: [TEX]C_{m+n}^p[/TEX]
Đồng nhất 2 khai triển trên ta có ĐPCM

 

[niemkieuloveahbu]

cho m/n/p là số nguyên dương và p \leq m , p \leq n:
chứng minh:
[tex]C^p_{m+n}=C^0_nC^p_m+C^1_nC^{p-1}_m+...+C^p_nC^0_m[/tex]

Với mọi x, và với n,m là số nguyên dương ta có:
[TEX]\text{(1+x)^{m+n}=(1+x)^n.(1+x)^m(1) \\ Mat khac: \\ (1+x)^{m+n} =\sum_{p=0}^{n+m}C^p_{n+m}.x^p. (2)\\ (1+x)^n.(1+x)^m=\sum_{k=0}^nC^k_nx^k.\sum_{k=0}^mC^k_mx^k = \sum_{p=0}^{n+m}[(\sum_{k=0}^pC^k_n.C^{p-k}_m)x^p](3) \\ Do (1) nen cac he so cua x^p, p=\overline{0,n+m} trong cac khai trien (2) & (3) bang nhau. Vay: \\ C^p_{m+n} =\sum_{k=0}C^k_n.C^{p-k}_m,dpcm[/TEX]

 

[l94]

[tex]\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\sum_{k=0}^mC^k_mx^k = \sum_{p=0}^{n+m}[(\sum_{k=0}^pC^k_n.C^{p-k}_m)x^p](3)[/tex]

Bạn vui lòng giải thích giúp cái khúc in đậm. thks nhiều.

Bước đó đơn giản là tính hệ số của x^p trong khai triển thứ hai để đồng nhất với khai triển một thôi.