chú ý latex
$S=(C_n^0)^2+2(C_n^1)^2+...+(n+1)(C_n^n)^2$ (1)
Viết ngược lại dãy trên :
$S=(n+1)(C_n^n)^2+...+2(C_n^1)^2+(C_n^0)$
ta dùng công thức : $C_n^k=C_n^{n-k}$
$\Rightarrow S=(n+1)(C_n^0)^2+...+2(C_n^{n-1})^2+(C_n^n)^2$ (2)
Cộng (1) với (2) nhé :
$2S=(n+2)[(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2]$
Tới đây ta chứng minh cho : $(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2 = C_{2n}^n$
Theo nhị thức Niuton thì :
$(1+x)^{2n}=C_{2n}^0+C_{2n}^1x+C_{2x}^2x^2+...+C_{2n}^nx^n+...+
C_{2n}^{2n}x^{2n}$
Hệ số của $x^n$ trong khai triển trên là : $C_{2n}^n$
lại có :
$(1+x)^{2n}=(1+x)^n(x+1)^n=(C_n^0+C_n^1x+...+C_n^nx^n)(C_n^0x^n+C_n^1x^{n-1}+...+C_n^n)$
nhân phân phối nhé . Hệ số của $x^n$ trong khai triển trên là :
$(C_n^0)^2+(C_n^1)^2+...+(C_n^n)^2$
Thế bạn viết nốt cái kết luận được chưa.