Giúp mình thêm bài này nữa
Cho [TEX]C^{n+1}_{2n+1}+C^{n+2}_{2n+1}+C^{n+3}_{2n+1}+....+C^{2n-1}_{2n+1}+C^{2n}_{2n+1}=2^8-1[/TEX]
Tìm hệ số chứa x^10 trong khai triển[TEX] (1-x+x^3-x^4)^n.[/TEX]
Lời giải của bài thế này:
[TEX]C^{n+1}_{2n+1}+C^{n+2}_{2n+1}+C^{n+3}_{2n+1}+....+C^{2n-1}_{2n+1}+C^{2n}_{2n+1}=2^8-1[/TEX]
áp dụng [TEX]C^k_n=C^{n-k}_n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow C^{n+1}_{2n+1} =C^{n}_{2n+1}[/TEX]
[TEX]C^{n+2}_{2n+1}=C^{n-1}_{2n-1}[/TEX]
.......
[TEX]C^{2n}_{2n+1}=C^1_{2n+1}[/TEX]
[TEX] \Rightarrow C^{n+1}_{2n+1}+C^{n+2}_{2n+1}+C^{n+3}_{2n+1}+....+C^{2n-1}_{2n+1}+C^{2n}_{2n+1} =C^1_{2n+1}+C^2_{2n+1}+.......+C^n_{2n+1}[/TEX]
[TEX]C^{n+1}_{2n+1}+C^{n+2}_{2n+1}+C^{n+3}_{2n+1}+....+C^{2n-1}_{2n+1}+C^{2n}_{2n+1}=2^8-1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(C^{n+1}_{2n+1}+C^{n+2}_{2n+1}+C^{n+3}_{2n+1}+....+C^{2n-1}_{2n+1}+C^{2n}_{2n+1})+2=2^9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow C^0_{2n+1}+C^1_{2n+1}+...+C^n_{2n+1}+C^{n+1}_{2n+1}+..........+C^{2n}_{2n+1}+C^{2n+1}_{2n+1}=2^9[/TEX]
Mà ta đã biết đẳng thức quen thuộc:
[TEX]C^0_{2n+1}+C^1_{2n+1}+...+C^n_{2n+1}+C^{n+1}_{2n+1}+..........+C^{2n}_{2n+1}+C^{2n+1}_{2n+1} =2^{2n+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^{2n+1}=2^9 \Rightarrow n=4[/TEX]
Bài toán trở thành:Tìm hệ số chứa x^10 trong khai triển[TEX] (1-x+x^3-x^4)^4.[/TEX]
[TEX](1-x+x^3-x^4)^4=[(1-x)(1+x^3)]^n=\sum_{i=0}^4 C_4^i(-x)^i.\sum_{k=0}^4 C_4^k[/TEX]
Số hạng tổng quát có dạng:
[TEX]T_{i,k}=C^i_4.C^k_4.(-1)^i.x^{3k+i}[/TEX] chứa [TEX] x^{10}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3k+i=10 with i,k=\overline{0,4},i,k \in N [/TEX]
Các cặp thỏa
i,k)=(4,2),(1,3) \Rightarrow thay vào tính được:
Hệ số hạng tử chứa [TEX]x^{10}=C^2_4.C^{4}_4(-1)^4+C^3_4.C^1_4(-1)=-10[/TEX]
Không nghĩ nó dài thế này,
)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn