[Toán 11] lim hay đề HSG<img src="http://diendan.hocmai.vn/images/eyeeasy/buttons/DaXN.png" border="

C

congchuaanhsang

a, Cm được $u_n > 1$ với mọi $n \in N^*$

Có $u_{n+1}-u_n=(u_n-1)^2 > 0$

\Rightarrow $u_{n+1} > u_n$

\Rightarrow ${u_n}$ là dãy tăng

Giả sử ${u_n}$ bị chặn trên

Theo dấu hiệu Vaiostrat \Rightarrow dãy có giới hạn

Gọi $limu_n=a$

Cho qua giới hạn ta có:

$a=a^2-a+1$ \Leftrightarrow $a=1$

(Vô lý do ${u_n}$ tăng và luôn lớn hơn 1 nên không tồn tại $\epsilon$ nhỏ tùy ý sao cho $|u_n-\epsilon|<1$)

Vậy giả sử sai

\Rightarrow ${u_n}$ tăng và không bị chặn trên

b, Ta có: $u_{n+1}-1=u_n(u_n-1)$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}$

Suy ra $\sum_{i=1}^{n} \lim \limits_{i \to n} \dfrac{1}{u_i}$

$=lim(1-\dfrac{1}{u_{n+1}-1})=1$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom