Bài 1 CM bất đẳng thức sau:
[TEX]\frac{{2}^{100}}{10\sqrt{2}}<{C}^{50}_{100}<\frac{{2}^{100}}{10}[/TEX]
Bài 2 cho a+b=c
Tính a!b! theo c
thanks trước.
Bài 1
tổng quát
[TEX]\frac{{{2^{2n}}}}{{2\sqrt n }} < C_{2n}^n < \frac{{{2^{2n}}}}{{\sqrt {2n} }};\forall n \ge 2[/TEX]
cái này nó tương đương với
[TEX]\frac{{{2^{2n}}}}{{2\sqrt n }} < \frac{{\left( {2n} \right)!}}{{n!n!}} < \frac{{{2^{2n}}}}{{\sqrt {2n} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < \sqrt n.\frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 3} \right)..1}}{{2n\left( {2n - 2} \right)..2}} < \frac{1}{{\sqrt 2 }}[/TEX]
để chứng minh
[TEX]\frac{1}{2} < \sqrt n .\frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 3} \right)..1}}{{2n\left( {2n - 2} \right)..2}}[/TEX]
ta sài quy nạp
Vơi n=2 đúng giả sử nó đúng với n=k khi đó ta cần chứng minh với n=k+1, ta sẽ chứng minh cho
[TEX]{S_{k + 1}} = {S_k}\frac{{\sqrt {k + 1} }}{{\sqrt k }}.\left( {\frac{{2k + 1}}{{2k + 2}}} \right) > \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {k + 1} }}{{\sqrt k }}.\left( {\frac{{2k + 1}}{{2k + 2}}} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{\left( {k + 1} \right) + k}}{{2\sqrt {k + 1} \sqrt k }} > \frac{1}{2}[/TEX]
để chứng minh
[TEX]\sqrt n .\frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 3} \right)..1}}{{2n\left( {2n - 2} \right)..2}} < \frac{1}{{\sqrt 2 }}[/TEX]
bình phương 2 vế cần chứng minh
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}.{{\left( {2n - 3} \right)}^2}{{..3}^2}{{.1}^2}}}{{2n{{\left( {2n - 2} \right)}^2}.{{\left( {2n - 4} \right)}^2}{{...4}^2}{{.2}^2}}} < 1\\ \Leftrightarrow \left[ {\ln \left( {2n} \right) - \ln \left( {2n - 1} \right)} \right] - \left[ {\ln \left( {2n - 1} \right) - \ln \left( {2n - 2} \right)} \right] + \left[ {\ln \left( {2n - 2} \right) - \ln \left( {2n - 3} \right)} \right] - \left[ {\ln \left( {2n - 3} \right) - \ln \left( {2n - 4} \right)} \right] + .. + \\\ln 4 - \ln 3 - \left[ {\ln 3 - \ln 2} \right] + \ln 2 - \ln 1 > 0\\Co:\frac{1}{{k + 1}} < \ln \left( {k + 1} \right) - \ln k < \frac{1}{k}\forall k \ge 1\\ = > VT > \frac{1}{{2n}} - \frac{1}{{2n - 2}} + \frac{1}{{2n - 2}} - \frac{1}{{2n - 4}} + ... + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{{2n}} > 0 = > dpcm\end{array}[/TEX]
p/s: có điều hay là bất đẳng thức mạnh hơn
[TEX] C_{2n}^n < \frac{{{2^{2n}}}}{{\sqrt {2n + 1} }}[/TEX]
lại chứng minh được rất đơn giản bằng quy nạp bởi dãy số
[TEX]f\left( n \right) = \frac{{\sqrt {2n + 1} C_{2n}^n}}{{{2^{2n}}}}[/TEX]
là dãy giảm với n do đó chỉ việc kiểm tra với n=2
Bài 2: chắc là tìm min nhỉ?
Nếu c =2k khi đó do c chẵn cho nên nếu a<b thì ta xét
[TEX]\frac{{\left( {a + 1} \right)!\left( {b - 1} \right)!}}{{a!b!}} = \frac{{a + 1}}{b} < 1[/TEX]
điều này cho thấy a!b! sẽ vẫn có thể giảm nếu a<b suy ra a!b! min khi a=b=c/2
Xét c lẻ khi đó nếu a<b-1 thì xét như trên suy ra a!b! min khi a=(c-1)/2;b=(c+1)/2 hoặc ngược lại
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
