[toán 11] hệ thức lượng

[tathuyduong0410]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: tam giác ABC đều khi
1. [TEX]\frac{a}{m_a}+\frac{b}{m_b}+\frac{c}{m_c} = 2\sqrt{3}[/TEX]
2. [TEX]cosA+cosB+cosC = 1+ \frac{1}{6}(cos^2\frac{A-B}{2}+cos^2\frac{B-C}{2}+cos^2\frac{C-A}{2})[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Ta có
[TEX]\frac{a}{m_a} = \frac{2a}{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}} = \frac{2\sqrt{3}a^2}{\sqrt{[2(b^2+c^2)-a^2]3a^2}} \geq \frac{2\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
(Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai biểu thức [TEX]2(b^2+c^2)-a^2; 3a^2[/TEX])
Tương tự với hai bất đẳng thức còn lại cộng lại suy ra điều phải chứng minh

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Ta chứng minh
[TEX]cos^2\frac{A-B}{2} + 2 \geq 2(cosA +cosB+cosC) (1)[/TEX] là xong
[TEX](1) \Leftrightarrow cos^2\frac{A-B}{2} +2(1- cosC) \geq 4cos(\frac {A+B}{2}).cos (\frac{A-B}{2})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos^2\frac{A-B}{2} + 4sin^2\frac{C}{2} \geq 4sin(\frac{C}{2}).cos(\frac{A-B}{2})[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow [ cos(\frac{A-B}{2}) - 2sin(\frac{C}{2})]^2 \geq 0[/TEX]
(luôn đúng)
Tương tự với hai bất đẳng thức còn lại cộng lại sẽ ra đpcm