[Toán 11] Hệ thức lượng trong tam giác

[tomey]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. CMR tam giác ABC vuông
3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15

2. Tính ba góc của tgABC
$cos2A + cos2B - cos 2C = \dfrac{3}{2}$

3. CMR tam giác ABC đều
$2(sinB + sinC - \sqrt{3}.sinB.sinC) = sinA$

 

[truongduong9083]

Câu 1.
Do $VT = 4sinB+3cosB+2(3sinC+4cosC) \leq 5 +2.5 = 15$
Dấu "= " xảy ra khi
$$\left\{ \begin{array}{l} 4sinB+3cosB = 5 \\ 3sinC+4cosC = 5 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} sin(B + \alpha) = 1 \\ cos(C - \alpha) = 1 \end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B+\alpha = \dfrac{\pi}{2} \\ C- \alpha = 0 \end{array} \right.$$
$$\Rightarrow B+C = \dfrac{\pi}{2}$$

 

[anhtraj_no1]

[COLOR="Tomato4"]Bài 2 .

Phương trình sẽ trở thành

$$4cos^2C + 4cosCcos(A-B) - 1 = 0$$

$$\Leftrightarrow [4cos^2C + 2.2cosCcos(A-B)+cos^2(A-B)] + 1- cos^2(A-B) = 0$$

$$\Leftrightarrow [4cos^2C + 2.2cosCcos(A-B)+cos^2(A-B)] + sin^2(A-B) = 0$$

$$\Leftrightarrow [2cosC + cos(A-B)]^2 + sin^2(A-B) = 0$$

Nhận xét :
$$\begin{cases} [2cosC + cos(A-B)]^2 \ge 0 (\forall A ; B ; C ) \\sin^2(A-B) \ge 0 \end{cases}$$


Dấu bằng xảy ra khi

$$ \Leftrightarrow \begin{cases} 2cosC = cos(A-B) \\sin(A-B) = 0 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} cosC = \dfrac{1}{2} \\A=B \end{cases}$$

OK [/COLOR]