để hiểu cái này thì bạn phải hiểu bản chất của giới hạn là gì?
môn giải tích nó chỉ có 4 khái niệm: giới hạn, liên tục, đạo hàm và tích phân. Chỉ xoay quanh 4 khái niệm đó, thế thôi.
3 khái niệm liên tục, đạo hàm và tích phân đều đc xây dựng trên khái niệm giới hạn. Có thể nói, giới hạn là khái niệm cơ cở nhất xây dựng nên toàn bộ môn giải tích toán học.
Để định nghĩa đc khái niệm giới hạn, phải có 2 điều kiện:
- Một là phải tồn tại 1 cái gì đó vô hạn sao cho đối số (biến) có thể nhận vô hạn các giá trị. trong giải tích, cái vô hạn này thường là các tập số như tập số tự nhiên, nguyên (khi n nhận các giá trị vô hạn đến vô cùng) hay tập số thực (khi x nhận các giá trị đến vô cùng hoặc x nhận các giá trị vô hạn đến gần 1 số x0 nào đó). thông thường trong giải tích người ta hay làm việc với tập số thực vì đây là tập đầy dủ nghĩa là giữa 2 số thực bất kì nó lại có vô hạn các số thực khác chẳng hạn giữa 0 và 1, giữa 0,001 và 0,2345 v.v... luôn có vô hạn các số thực, chính vì vậy nên mới cho x tiến đến 1 số thực x0 nào đó vì ta chắc chắn là sẽ có vô hạn giá trị x có thể nhận đc.
- Hai là phải định nghĩa (đưa ra đc) 1 "khoảng cách" giữa 2 phần tử trong tập vô hạn ở trên. thông thường khoảng cách giữa 2 số thực a và b chính là trị tuyệt đối |a - b|. Khi có khoảng cách rồi thì ta mới nói đc về khái niệm gần, xa, mới nói đc x gần x0 đến mức nào khi x tiến đến x0.
==> Chẳng hạn, ta hay nói: Hàm số có giới hạn L khi x tiến đến x0 (hay x tiến đến vô cùng). Ta phải hiểu là x tiến đến x0 có nghĩa là nó càng gần x0 hơn, khoảng cách giữa x và x0 càng nhỏ dần mãi mãi đến vô hạn (chú ý là điều này có thể xảy ra vô hạn ko bao giờ dừng do x có vô hạn các giá trị để nhận khi tiến đến x0). Khi mà x càng gần x0 hơn như thế, thì giá trị tương ứng của hàm số cũng sẽ càng gần L hơn, gần đến vô hạn. Phát biểu chính xác về toán học thì ta sẽ nói là: Với mọi số dương bé tùy ý bao nhiêu cũng đc thì khoảng cách của hàm và L sẽ luôn có thể nhỏ hơn cả số dương này khi x càng gần x0 ở 1 mức nào đó (tức khi khoảng cách giữa x và x0 nhỏ hơn 1 số dương khác nào đó).
Quay lại bài toán trên:
Nếu hàm f liên tục trên R thì nó liên tục trên đoạn bất kì. ta cần tìm 2 khoảng để f có nghiệm trong mỗi khoảng.
1 điểm là 0 thì dễ thấy f(0) âm rồi.
Vì f tiến đến dương vô cùng khi x tiến đến dương vô cùng, có nghĩa là giá trị f có thể lớn đến vô hạn khi x lớn đến vô hạn. Như vậy rõ ràng cho bất kì 1 số dương lớn tùy ý L nào đó, thì giá trị của f cũng sẽ lớn hơn cả L khi x đủ lớn, hay có nghĩa là với mọi L > 0 lớn tùy ý thì luôn tồn tại x0 > 0 sao cho khi x > x0 thì giá trị của f sẽ > L. Có nghĩa là luôn tồn tại số a > 0 sao cho f(a) > 0. (có thể chọn L là bất kì số dương nào, L = 1, 2, 2018, ....)
Tương tự nếu f tiến đến dương vô cùng khi x tiến đến âm vô cùng, có nghĩa là f có thể lớn đến vô hạn khi x nhỏ đến vô hạn. Như vậy rõ ràng cho bất kì 1 số dương L nào lớn kiểu gì thì giá trị của f cũng sẽ lớn hơn cả L khi x đủ bé, hay có nghĩa là với mọi L > 0 lớn tùy ý thì luôn tồn tại x0 < 0 sao cho khi x < x0 thì giá trị của f sẽ lớn hơn L. Có nghĩa là tồn tại số b < 0 sao cho f(b) > 0. (có thể chọn L là bất kì số dương nào, L = 1, 2, 2018, ....)
Bạn cũng có thể để ý đồ thị của nó luôn liền ko bị ngắt (do liên tục), nó có 1 phần nằm dưới trục hoành (nhơ hơn 0), do khi x tiến về 2 phía âm và dương vô cùng thì điểm tương ứng trên đồ thị phải rất lớn (vì tiến đến duong vô cùng) nên nó phải lớn hơn 0. Vì nếu hàm luôn âm thì nó ko thể tiến đến duong vô cùng đc vì mọi x thì giá trị của f đều âm.
Chú ý là trong định nghĩa giới hạn khi x tiến đến x0, người ta ko quan tâm đến hàm có xác định tại x0 hay ko. Xác định cũng đc mà ko xác định cũng đc. Định nghĩa giới hạn nó chỉ quan tâm đến việc x tiến sát đến x0, càng lúc càng gần x0 hơn, gần đến mãi mãi, đến vô hạn, chứ ko quan tâm đến việc x có bằng x0 hay ko.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
