Cho dãy {$x_n$}: $x_1=2$ , $x_2=1$ ; $3x_{n+2}+3=2cosx_{n+1}+cosx_n$
Tính $limx_n$
Giải:
Lời giải đại khái thế này
1. Dãy bị chặn trên:
Ta có:
[tex]x_{n+2} = -3 + 2cos(x_{n+1})+cos(x_n)\leq-3+3=0[/tex]
2. Dãy đơn điệu tăng:
Nhận xét thấy
[tex]0>x_5>x_4>x_3>-\frac{\pi}{2}[/tex]
Giả sử [tex] \exists n[/tex] thỏa mãn
[tex] 0>x_{n+1}>x_{n}>x_{n-1}-\frac{\pi}{2} [/tex]
Khi đó
[tex]x_{n+2}-x_{n+1}=2*cos(x_{n+1})-cos(x_n)-cos(x_{n-1})[/tex]
Mặt khác, hàm số [tex]cos(x) [/tex] đơn điệu tăng trên [tex](-\frac{\pi}{2},0) [/tex]
Như vậy [tex]x_{n+2} > x_{n+1}[/tex] hay [tex] 0>x_{n+2}>x_{n+1}>x_{n}>-\frac{\pi}{2} [/tex] và cứ thế.
Vậy, dãy đơn điệu tăng.
3. Dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên nên có giới hạn.
Gọi giới hạn là [tex]a[/tex]
ta có:
[tex]3a+3=2cos(a)+cos(a)[/tex]
[tex]\Rightarrow a=0[/tex]
Vậy giới hạn của dãy là
[tex]limx_n=0[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
