[Toán 11] Giới hạn hàm số

[bambymonkey]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]1,\lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1})^x[/TEX]
[TEX]2,\lim_{x\to\0}(cos3x)^{\frac{2}{x^2}}[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

[TEX]2,\lim_{x\to\0}(cos3x)^{\frac{2}{x^2}}[/TEX]

[TEX]=\lim_{x\to\0}(1-2sin^2\frac{3x}{2})^{\frac{2}{x^2}}[/TEX]
[TEX]=\lim_{x\to\0}(1-2sin^2\frac{3x}{2})^{\frac{-1}{2sin^2\frac{3x}{2}}.-2sin^2\frac{3x}{2}.\frac{2}{x^2}[/TEX]
[TEX]= \lim_{x\to\0}(1-2sin^2\frac{3x}{2})^{\frac{-1}{2sin^2\frac{3x}{2}} -2sin^2\frac{3x}{2}.\frac{9}{2(\frac{3x}{2})^2} = e^{-9}[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

[TEX]1,\lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1})^x[/TEX]

[TEX]=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2(x+1)}{x^2-x-1})^x[/TEX]
[TEX]=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2(x+1)}{x^2-x-1})^{\frac{x^2-x-1}{2(x+1)}.\frac{2(x+1)}{x^2-x-1}.x}[/TEX]
[TEX]=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2(x+1)}{x^2-x-1})^{\frac{2x^2+2x}{x^2-x-1}=e^2[/TEX]

 

[rocky1208]

[TEX]1,\lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1})^x[/TEX]

Dạng [TEX]1^{\infty}[/TEX]

[TEX]L = \lim_{x\to\infty}(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1})^x = \lim_{x\to\infty} (1+ \frac{2x+2}{x^2-x-1})^x[/TEX]
[TEX]\lim_{x\to\infty}(1+ \frac{2+ \frac{2}{x}}{x -1 - \frac{1}{x}})^x[/TEX]

Khi [TEX]x \to \infty[/TEX] thì [TEX]\frac{2}{x} \to 0[/TEX], [TEX]\frac{1}{x} \to 0[/TEX]
hơn nữa [TEX]x \to \infty[/TEX] nên hằng số [TEX]1[/TEX] ở mẫu không đáng kể so với số hạng [TEX]x[/TEX] nên có thể ngắt bỏ

Vậy [TEX]L=\lim_{x\to\infty}(1+ \frac{2}{x})^x = \lim_{x\to\infty}(1+ \frac{1}{\frac{1}{2} x})^{(\frac{1}{2}x)2}[/TEX]

[TEX]\lim_{x\to\infty}[(1+ \frac{1}{\frac{1}{2} x})^{(\frac{1}{2}x)}]^2 = \fbox{e^2}[/TEX]

p/s: ở đây áp dụng giới hạn đặc biệt [TEX]\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x[/TEX]
Ngoài cách trên ra có thể biến đổi
[TEX]L = \lim_{x \to \infty} e^{\ln (\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1})^x}[/TEX]
[TEX]=e^{\lim_{x \to \infty}x\ln \frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}}[/TEX]
Giới hạn [TEX]L_1 = \lim_{x \to \infty}x\ln \frac{x^2+x+1}{x^2-x-1} =\lim_{x \to \infty} \frac{\ln \frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}}{\frac{1}{x}}[/TEX] là dạng [TEX]\frac{0}{0}[/TEX] tính được bằng L'Hospital (nhưng đạo hàm hơi lằng nhằng tý)

 

[niemkieuloveahbu]

Cái L'Hospital bạn nói không được dùng trong chương trình phổ thông,nếu mình không nhầm thì phải đại học hay cao đẳng gì đó mới học,nên trình bày cách làm đơn giản mà người khác vẫn hiểu được.