[Toán 11] Giới hạn dãy số.

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy $u_{n}: \begin{cases}
u_{1}=\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{u_{n}^2+4u_{n}}+u_{n}}{2}\\
\end{cases}$

Chứng minh $a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{u^2_{i}}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

 

[huynhbachkhoa23]

Cho dãy $u_{n}: \begin{cases}
u_{1}=\dfrac{1}{2}\\
u_{n+1}=\dfrac{\sqrt{u_{n}^2+4u_{n}}+u_{n}}{2}\\
\end{cases}$

Chứng minh $a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{u^2_{i}}$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Dễ dàng chứng minh $u_n > 0$, từ đó ta được $u_{n+1}>u_{n}$

Giả sử $u_n$ có giới hạn và đặt $\lim u_n = L$, thay vào ta tính được $L=0$ vô lý vì $L>0$

Từ hai điều trên cho ta $\lim u_{n}=∞$

Ta có $\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1$ (Từ $2(u_{n+1}-u_{n})=\sqrt{u_{n}^2+4u_{n}}-u_{n}$)

$\leftrightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}^2}=\dfrac{1}{u_{n}}-\dfrac{1}{u_{n+1}}$

$\to a_{n}=8-\dfrac{1}{u_{n+1}}$

$\lim a_{n}=8$

Nếu lời giải đúng thì mod khoá pic giúp em.