cho U1=1 ,U(n+1) = ( Un +2)/( Un + 1). xet tinh' tang giam~ va` bi chan
[tex]u_2=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]u_3=\frac{\frac{3}{2}+2}{\frac{3}{2}+1}=\frac{7}{5}<\frac{3}{2}[/tex]
Dễ thấy dãy [tex] u_n[/tex] \exists cận trên và cận dưới:
[tex] 1 \leq u_n \leq \frac{3}{2} (*)[/tex]
Với n=1,2 thì hiển nhiên [tex] (*) [/tex] đúng.
Giả sử [tex] (*) [/tex] đúng khi [tex]n=k (k \geq 2)[/tex]
[tex]\Rightarrow 1 \leq u_k \leq \frac{3}{2}[/tex]
Cần chứng minh: [tex] 1 \leq u_{k+1} \leq \frac{3}{2}(1)[/tex]
[tex]u_{k+1}=\frac{u_k+2}{u_k+1} \Rightarrow u_k=\frac{2-u_{k+1}}{u_{k+1}-1} [/tex]
[tex]\Rightarrow (1) \Leftrightarrow 1 \leq \frac{2-u_{k+1}}{u_{k+1}-1} \leq \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{\frac{2-u_{k+1}}{u_{k+1}-1} \geq 1}\\{\frac{2-u_{k+1}}{u_{k+1}-1} \leq \frac{3}{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{\frac{3-2u_{k+1}}{u_{k+1}-1} \geq 0}\\{\frac{7-5u_{k+1}}{u_{k+1}-1} \leq 0}[/tex]
[tex]\Rightarrow \left{\begin{\left[\begin{u_{k+1} <1}\\{u_{k+1} > \frac{7}{5}}}\\{1 \leq u_{k+1} \leq \frac{3}{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow 1 \leq u_n \leq \frac{3}{2}[/tex]
Xét hiệu: [tex]u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+2}{u_n+1}-u_n[/tex]
[tex]=\frac{u_n+2-u_n.(u_n+1)}{u_n+1}=\frac{-u_n^2+2}{u_n+1}[/tex]
....
Gõ mấy cái tex chán
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn