[toán 11] dãy số

[hung123456]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình 1 số bài toán nhaz..hihi/..mình thank liền

bài 1 . Chứng minh các dãy số sau tăng và bị chặn

a, [TEX]U_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}[/TEX]

b, [TEX]U_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+....+\frac{1}{2n}[/TEX]

bài 2 . Cho dãy số (Un) xác định bởi [TEX]U_n=1 & U_{n+1}=\sqrt{2+U_n}[/TEX]

c/minh (Un) là dãy số tăng và bị chăn

 

[catbuilts]

Bài 1:
a) Dễ thấy dãy Un tăng.

áp dụng [TEX] \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow U_n < 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ..... + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2[/TEX]

Un tăng và bị chặn trên tại 2.

b) [TEX]U_(n+1) - U_n = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)(2n+1)(2n+2)} \ge 0[/TEX]

=> Un tăng

Un gồm n số hạng. mỗi số đều bé hơn [TEX]\frac{1}{n}[/TEX] nên [TEX]U_n \le n \frac{1}{n} = 1[/TEX]
Vậy Un tăng, bị chặn trên bởi 1.

Bài 2 Quy nạp
U1 < U2
Giả sử đúng với Un, tức Un < Un+1
Ta cần chứng minh Un+1 < Un+2

[TEX][TEX]\Leftrightarrow \sqrt{U_n +2} < \sqrt{U_(n+1) +2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow U_n < U_(n+1)[/TEX]

Cái ni đúng (theo giả thiết quy nạp.)
Vậy Un tăng.

Chứng minh bị chặn bởi 2.
Lại dùng quy nạp
U1 < 2. Giả sử Un < 2
Cần chứng minh Un+1 cũng < 2, tức là [TEX]\sqrt{U_n +2} < 2 [/TEX]
Cái này hiển nhiên vì Un + 2< 2 + 2 = 4 nên [TEX]\sqrt{U_n +2} < 2 [/TEX].
Vậy chứng minh xong