[Toán 11] Chứng minh qui nạp

[silent_love]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) [TEX]a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})[/TEX]
2) [TEX](a+b)^n=C_n^0 a^n+C_n^1 a^{n-1}b+...+C_n^k a^{n-k}b^k+...+C_n^{n-1}ab^{n-1}+C_n^n b^n[/TEX]

 

[thien0526]

Mình nghĩ đề này thiếu, phải có điều kiện là n\geq2 và n là số tự nhiên mới được.
[TEX]1) a^n -b^n =(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}[/TEX] (1)
Bước 1: Với n=2, ta có: [TEX]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/TEX](đúng)
Bước 2: Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n=k\geq2, tức là đã có:
[TEX] a^k -b^k =(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k-1}[/TEX]
Ta cần chứng minh: [TEX] a^{k+1} -b^{k+1} =(a-b)(a^{k}+a^{n-1}b+...+ab^{n-1}+b^{k}[/TEX] (2)
Thật vậy: [TEX] a^{k+1} -b^{k+1} = a^k a-b^k b = (a^k a - ab^k)+(ab^k-b^k b)=a(a^k-b^k)+(b^k(a-b)[/TEX]
[TEX]=a[(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k-1}]+b^k(a-b)[/TEX]
[TEX]=(a-b)(a^{k+}+a^{k-1}b+...+a^2b^{k-2}+ab^{k-1}+b^{k}[/TEX]
(2) được chứng minh.
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n\geq2