[Toán 11] Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là

[levanhuy96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là

Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là

[TEX]Cos{\frac{A}{2}}^{2}+Cos{\frac{B}{2}}^{2}+Cos{\frac{C}{2}}^{2}-2=\frac{1}{4} cos(\frac{A-B}{2}) cos(\frac{B-C}{2}) cos(\frac{C-A}{2})[/TEX]

Mấy cái đằng sau đều chia cho 2 hết. sao mình làm đúng công thức mà không hiện được

Ai làm giúp mình và xem bài này có nằm ở đề thi đại học năm nào không nhé.

 

[truongduong9083]

Nếu tam giác ABC đều hệ thức đúng
Ta chứng minh nếu có hệ thức thì tam giác ABC đều
VT = $\dfrac{cosA+cosB+cosC-1}{2} = 2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$
Vậy hệ thức trở thành
$8sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{B}{2} = cos\frac{(A-B)}{2}.cos\frac{(B-C)}{2}.cos\frac{(C-A)}{2}$
Nhân hai vế với $cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}$
Ta được $sinA.sinB.sinC = \dfrac{1}{8}(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$
$\Leftrightarrow 8sinA.sinB.sinC =(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$
Sử dụng bất đẳng thức cô si thì $VP \geq VT$
Dấu "= " xảy ra khi tam giác ABC đều

 

[levanhuy96]

Nếu tam giác ABC đều hệ thức đúng
Ta chứng minh nếu có hệ thức thì tam giác ABC đều
VT = $\dfrac{cosA+cosB+cosC-1}{2} = 2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$
Vậy hệ thức trở thành
$8sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{B}{2} = cos\frac{(A-B)}{2}.cos\frac{(B-C)}{2}.cos\frac{(C-A)}{2}$
Nhân hai vế với $cos\frac{A}{2}.cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}$
Ta được $sinA.sinB.sinC = \dfrac{1}{8}(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$
$\Leftrightarrow 8sinA.sinB.sinC =(sinA+sinB)(sinB+sinC)(sinC+sinA)$
Sử dụng bất đẳng thức cô si thì $VP \geq VT$
Dấu "= " xảy ra khi tam giác ABC đều

Cảm ơn bạn nhiều lắm. Mình chỉ biến nó được thành sin thoy. còn đến phần nhân lên với dùng bất đẳng thức thì chịu