[Toán 11] Chứng minh dãy số bị chặn.

[pro0o]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{u_n +1}$, \forall n\geq 1. Chứng minh dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $\dfrac{3}{2}$ và bị chặn dưới bởi số 1.
2. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 0$ và $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 4$, \forall n \geq 1.
a) Chứng minh dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi số 8.
b) Chứng minh dãy $(u_n)$ tăng. Từ đó suy ra dãy bị chặn.

 

[nguyenbahiep1]

1. Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{u_n +1}$, \forall n\geq 1. Chứng minh dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $\dfrac{3}{2}$ và bị chặn dưới bởi số 1.

Giải

Chứng minh bằng quy nạp

$1 \leq u_n \leq \frac{3}{2} \\ \\ n = 1\Rightarrow 1 \leq u_1 = 1 \leq \frac{3}{2} \\ \\ n = k \Rightarrow 1 \leq u_k \leq \frac{3}{2} \\ \\ u_{k+1} = \dfrac{u_k + 2}{u_k +1}$

Cần chứng minh

$1 \leq u_{k+1} \leq \frac{3}{2} $

Thật vậy

$u_{k+1} = 1 + \frac{1}{u_k +1 }\\ \\ u_k+1 > 0 \Rightarrow u_{k+1} = 1 + \frac{1}{u_k +1 } > 1 \\ \\ u_k+1 \geq 2 \Rightarrow u_{k+1} = 1 + \frac{1}{u_k +1 } \leq 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$