[Toán 11]Chuẩn bị vào 12:D

quyenuy0241 · 12 Tháng sáu 2010

Hàm số mũ .

1.Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa

-Hàm số mũ cơ số a [tex](0<a \neq 1) [/tex] là hàm xác định bởi công thức [tex]y=a^x[/tex]

1.2.Tính chất

Xét hàm số [TEX]y=a^x,,0 \le a \neq 1[/TEX] ta có các tính chất sau:

(1) Tập xác định [TEX]D=R[/TEX].

(2) Tập giá trị [TEX]I=(0,+\infty)[/TEX], nói cách khác hàm số luôn nằm về phía trên trục hoành

(3) Hàm số liên tục trên R

(4) Sự biến thiên : Hàm số đơn điệu với mọi x

. Với [TEX]a> 1[/TEX] thì [TEX]a^{x_1} > a^{x_2}\Leftrightarrow x_1>x_2[/TEX] tức là hàm đồng biến
.với [TEX]0<a<1[/TEX]thì [TEX]a^{x_1} > a^{x_2}\Leftrightarrow x_1<x_2[/TEX] tức là hàm nghịch biến

(5) BBT
2.Các dạng toán.

1. So sánh các số có dạng lũy thừa

Phương pháp Chung:
sử dụng kết quả :

1..
Với [TEX]a> 1[/TEX] thì [TEX]a^{x_1} > a^{x_2}\Leftrightarrow x_1>x_2[/TEX]
2.
Với [TEX]0<a<1[/TEX]thì [TEX]a^{x_1} > a^{x_2}\Leftrightarrow x_1<x_2[/TEX]

3.Với [TEX]a,b \neq 1,,,0<b<a[/TEX] thì

. x>0\Leftrightarrow [TEX]b^x <a^x[/TEX]
. x<0 \Leftrightarrow [TEX]b^x>a^x[/TEX]

II. Bài Tập.
1.so sánh 2 số a,b biết

a. [TEX]a=(\sqrt{3}-1)^{\frac{1}{2}}[/TEX] và [TEX]b=(\sqrt{3}-1)^{\frac{3}{4}}[/TEX]

b. [TEX]a= (\sqrt{2}-1)^{2}[/TEX] và [TEX]b=(\sqrt{2}+1)^{\frac{3}{2}}[/TEX]

c. [TEX](26+15\sqrt{3})^{1+\sqrt{3}}[/TEX] và [TEX](7-4\sqrt{3})^{1-2\sqrt{3}}[/TEX]

d.[TEX]a=(\frac{\sqrt{5}}{2})^{\frac{2}{3}}[/TEX] và [TEX]b=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}[/TEX]
e. [TEX]a=(2-\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}[/TEX]và [TEX]b=(7+4\sqrt{3})^{-\frac{2}{3}}[/TEX]

quyenuy0241 · 12 Tháng sáu 2010

Dạng toán 2 : Tìm tập xác định của hàm số mũ

1.Phương pháp Chung
Xét hàm số : [tex]y=[f_1(x)]^{f_2(x)} [/tex]

Để tìm tập xác định D của hàm số ta đi giải điều kiện

[tex]\left{\begin{f_1(x) -co'- nghia-va-> f_1(x) >0 \\ f_2(x)--co--nghia [/tex]

2.Bài -Tập

a. [tex]y=(x^2-4x+3)^{\frac{x}{x-1}} [/tex]

b.[tex]y=(x+1-\sqrt{x^2-1})^{x+1} [/tex]

c. [tex]y= (x^2-1)^{tgx}+(x^2-1)^{-tanx} [/tex]

quyenuy0241 · 12 Tháng sáu 2010

Dạng Toán 3:Tìm giới hạn của hàm số mũ

Phương Pháp Chung

Sử dụng các dạng giới hạn đặc biệt sau:

1. [TEX]\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1[/TEX]

2. [TEX]\lim_{x \to 0}(1+x)\frac{1}{x}=e[/TEX]

3. [TEX]\lim_{x \to \infty } (1+\frac{1}{x})^x= e[/TEX]

4. [TEX]\lim_{x \to x_o}u(x)^{v(x)}[/TEX] với [TEX]v(x) >0[/TEX] lân cận [TEX]x_o[/TEX],ta xét :

[TEX]\lim_{x \to 0}[lnf(x)]=\lim_{x \to x_o} [v(x).lnu(x)] =A \Rightarrow \lim_{x \to x_o}f(x)=e^A[/TEX]

ngoài ra các bạn có thể sử dụng quy tắc Lôpitan.

Để rõ hơn mình xin đưa ra 1 VD dễ sau:

(*)Tính giới hạn sau:
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}[/tex]

Giải

Ta có

[TEX]\lim_{x\to 0} \frac{e^{ax}-e^{bx}{x}=\lim_{x \to 0} (a\frac{e^{ax}-1}{ax}-b\frac{e^{ b x}-1}{bx})=a-b[/TEX]

Sau đây là 1 số bài tập:

Bài Tập

(*)Tính các Giới hạn sau

a. [TEX]\lim_{x \to 0}(1+sin2x)^{\frac{1}{x}}[/tex]

b.[TEX]\lim_{x \to \infty} (\frac{3x+5}{3x-1})^{2x}[/TEX]

c.[TEX]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(sin x)^{tg x}[/TEX]

d.

(ĐHHH-99)

[TEX]\lim_{x \to 0}\frac{e^{sin 2x}-e^{sin x}}{sin x}[/TEX]

e.

ĐHGTVT-2001

[TEX]\lim_{x \to 0}\frac{e^{-2x^2}-\sqrt[3]{1+x^2}}{ln(1+x^2)}[/TEX]

quyenuy0241 · 13 Tháng sáu 2010

Tiếp nhá

Dạng Toán 4: Xét tính liên tục của hàm số mũ tại điểm [TEX]x_o[/TEX]

Phương Pháp Chung

Bước 1: Khẳng định rằng hàm số xác định tại điểm [TEX]x_o[/TEX] ,tính f(0)

Bước 2: Xác định [TEX]\lim_{x \to x_o}f(x)[/TEX]

Bước 3: Kiểm nghiệm [TEX]f(x_o)=\lim_{x \to x_o}f(x)[/TEX]
Bước 4:Kết luận :

Chú ý:

Hàm số [TEX]f(x)[/TEX] gián đoạn tại điểm [TEX]x_o[/TEX] Nếu 1 trong 3 :1,2,3 bước trên không được thỏa mãn:

Nếu sử dụng giới hạn 1 phía thì :

" [TEX]\lim_{x \to x_o^+}f(x)[/TEX] Tồn tại và [TEX]\lim_{x \to x_o^+}f(x)=f(x_o)[/TEX]--Gọi là liên tục phải tại [TEX]x_o[/TEX]

" [TEX]\lim_{x \to x_o^-}f(x)[/TEX] Tồn tại và [TEX]\lim_{x \to x_o^-}f(x)=f(x_o)[/TEX]--Gọi là liên tục trái tại [TEX]x_o[/TEX]

Hàm số liên tục tại [TEX]x_o\Leftrightarrow \lim_{x \to x_o}f(x)=\lim_{x \to x_o^+}f(x)=\lim_{x \to x_o^-}f(x)[/TEX]

Bài tập

1.Xét tính liên tục của hàm số tại [TEX]x_o=0[/TEX]

[tex] f(x)=\left{\begin{\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}},,khi,, x \neq 0 \\ 2,,khi,,x=0 [/tex]

2,Xác định mối liên hệ của a,b để hàm số liên tục trên toàn trục số :

[tex]f(x)=\left{\begin{\frac{3^{x^2}-cosx}{x^2}} ,,khi,, x \neq 0 \\ a+2b,,khi,, x=0 [/tex]

[TEX]D/A:a+2b=ln3+\frac{1}{2}[/TEX]

quyenuy0241 · 14 Tháng sáu 2010

Dạng 5 :Tính đạo hàm của hàm số mũ [TEX]y=f(x)[/TEX]bằng định nghĩa

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Thực hiện theo các bước :

Bước 1: Cho x một số gia [tex]\Delta x [/tex],ta lần lượt có :

. [TEX]\Delta y=f(x+ \Delta x)-f(x);[/TEX]

. [TEX]\frac{\Delta x }{\Delta y}[/TEX]

Chú ý nếu bài toán yêu cầu tính đạo hàm tại điểm [TEX]x_o[/TEX],ta sử dụng :

[tex]f'(x_o)=\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o} [/tex]

Và trong một số trường hợp ta cần sử dụng giới hạn 1 phía để xác định đạo hàm trái và đạo hàm phải .

Sau đây là 1 số ví dụ:

[TEX]VD_1[/TEX] Tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số :

[TEX]f(x)=3^x[/TEX]

Giải

cho x 1 số gia [TEX]\Delta x[/TEX],ta có

[TEX]\Delta y=f(x+ \Delta x)-f(x)= 3^{x+ \Delta x}-3^x[/TEX]

Do đó

[TEX]\Rightarrow \frac{\Delta x}{ \Delta y}= \frac{3^{x+ \Delta x}-3^x}{ \Delta x}=36x. \frac{3^{\Delta x}-1}{ \Delta x}=3^x. ln3.\frac{e^{\Delta x ln3}-1}{ \Delta x}[/TEX]

Suy ra: [TEX]\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{ \Delta x}=3^x.ln 3 \Rightarrow f'(x)=3^x ln 3[/TEX]

Bài Tập

1.Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số :

[tex]y=f(x)=\left{\begin{e^x ,,,,Khi--> x \ge 0 \\ x^2+x+1,,,,,Khi---> x <0 [/tex]

2.

ĐHY-2000

Dùng định nghĩa để tính đạo hàm :

[TEX]y=2000^x[/TEX]

quyenuy0241 · 14 Tháng sáu 2010

Dạng 6: Tính đạo hàm của hàm số [TEX]y=u(x)^{v(x)}[/TEX]

Phương Pháp Chung:

Nếu [TEX]u,v[/TEX] là hàm số có đạo hàm theo x là [TEX]u'[/TEX] và [TEX]v'[/TEX] và với [TEX]u>0[/TEX] thì đạo hàm của y=u' được tính theo phương pháp [TEX]Lepnit[/TEX] và [TEX]I.Becnuli[/TEX]

Chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 : Lấy loga cơ số e hai vế của hàm số ,ta được

[TEX]lny=ln[u(x)^{v(x)}] \Leftrightarrow lny=v(x).ln[u(x)][/TEX]

Bước 2 lấy đạo hàm theo x cả 2 vế ta được :

[TEX]\frac{y'}{y}=v'(x).ln[u(x)]+\frac{u'}{u}.v(x)[/TEX]

suy ra:

[TEX]y'=y.[v'(x).ln[u(x)]+\frac{u'}{u}.v(x)]=u(x)^{v(x)}.{v'(x).ln[u(x)]+\frac{u'}{u}.v(x)}[/TEX]

[TEX] VD_1 [/TEX]

Tính đạo hàm của các hàm số sau :

[TEX]y=(x^2+1)^{cosx}[/TEX]

Giải

Bước 1: Lấy loga cơ số e 2 vế :

[tex]\Leftrightarrow lny=cosx ln(x^2+1) [/TEX]

Bước 2
Lấy đạo hàm 2 vế :
[tex]\frac{y'}{y}= (co sx)'.ln(x^2+1)+[ln(x^2+1)]'.cosx=-sinx.ln(x^2+1)+\frac{2xcosx}{x^2+1} [/tex]

[tex]\Rightarrow y'=(x^2+1)^{cos x}[-sin x.ln(x^2+1)+\frac{2x.cos x}{x^2+1}] [/tex]

Bài Tập

(*) tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. [TEX]y=2^x.(2+co sx)^{sin x}[/TEX]

2.[TEX]y=sin^2x.(x+1)^{2010}.tg^2x[/TEX]

3.[TEX]y=sin x^{co s x}. cot^{sin x}x[/TEX]

Tìm kiếm

Tìm kiếm

[Toán 11]Chuẩn bị vào 12:D

quyenuy0241

quyenuy0241

quyenuy0241

quyenuy0241

quyenuy0241

quyenuy0241