[toán 11] bt về tìm Max ,Min

[smileandhappy1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z > 0 thỏa 4(x+y+z) = 3xyz
tìm GTLN của
[TEX]P = \frac{1}{2+x+yz} + \frac{1}{2+y+xz} + \frac{1}{2+z+xy}[/TEX]

 

[hoanghondo94]

cho x,y,z > 0 thỏa 4(x+y+z) = 3xyz
tìm GTLN của [TEX]P = \frac{1}{2+x+yz} + \frac{1}{2+y+xz} + \frac{1}{2+z+xy}[/TEX]

Em thử cách này xem nhé

Theo BĐT Cauchy-Schwarz thì ta có:

[TEX]4P \le \sum_{cyc} \frac{1}{x+2} + ( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz}+ \frac{1}{zx} ) = \sum_{cyc}\frac{1}{x+2} + \frac34[/TEX]

Ta sẽ chứng minh:

[TEX]\sum_{cyc} \frac{1}{x+2} \le \frac34 \Leftrightarrow xy + yz +zx \ge 12[/TEX]

Nhưng mặt khác, theo BĐT Cauchy-Schwarz thì:

[TEX]( xy + yz + zx) ( \frac{1}{xy} + \frac{1}{yz}+ \frac{1}{zx} ) \ge 9 \Leftrightarrow xy + yz + zx \ge 12[/TEX]

Suy ra [TEX]Max P = \frac38[/TEX] .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: [TEX] x= y =z =2[/TEX]