Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất
[TEX]x^2 +2ax+\frac{1}{16}=-a+\sqrt[]{a^2-\frac{1}{16}+x}[/TEX]
Dù đặt ẩn đưa về hpt đối xứng loại II đi nữa thì vẫn còn rắc rối ở chỗ dù x và y đối xứng nhau tuy nhiên trên thực tế nó không đối xứng bởi có điều kiện của riêng x và y
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}x^2 + 2ax + \frac{1}{{16}} - y = 0 \\ y^2 + 2ay + \frac{1}{{16}} - x = 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]
giải hệ trên ta thu được
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}x = y \\ x^2 + \left( {2a - 1} \right)x + \frac{1}{{16}} = 0 \\ \end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}y = - 2a - x - 1 \\ x^2 + \left( {2a + 1} \right)x + \frac{{17}}{{16}} + 2a = 0 \\ \end{array} \right.[/TEX]
Như vậy phải tìm đk của a sao cho tổng cộng 2 hệ trên chỉ có một nghiệm (x;y) duy nhất thỏa mãn
[TEX]x \ge \frac{1}{{16}} - a^2 ;y \ge - a[/TEX]
hay là 2 pt sau có tổng cộng đúng 1 nghiệm
[TEX]f(x) = x^2 + \left( {2a - 1} \right)x + \frac{1}{{16}} = 0[/TEX] đk [TEX]x \ge \max \left\{ {\frac{1}{{16}} - a^2 ; - a} \right\}[/TEX]
[TEX]g(x) = x^2 + \left( {2a + 1} \right)x + \frac{{17}}{{16}} + 2a = 0[/TEX] với
[TEX] - a - 1 \ge x \ge \frac{1}{{16}} - a^2 [/TEX]
Để ý thấy
[TEX]f\left( { - a} \right)=a + \frac{1}{{16}} - a^2 ; g\left( { - a - 1} \right) = a + \frac{17}{{16}} - a^2 ;f\left( {\frac{1}{{16}} - a^2 } \right) = \left( {a^2 - a - \frac{1}{{16}}} \right)^2 ;g\left( {\frac{1}{{16}} - a^2 } \right) = \left( {a^2 - a - \frac{{17}}{{16}}} \right)^2 [/TEX]
Do đó nếu
**[TEX] - a - 1\ge \frac{1}{{16}} - a^2 \Rightarrow f\left( { - a} \right) < 0;g\left( { - a - 1} \right) \le 0;g\left( {\frac{1}{{16}} - a^2 } \right) \ge 0[/TEX] suy ra f(x)=0 và g(x)=0 đều có nghiệm thỏa mãn đk (dĩ nhiên chúng khác nhau) do đó loại TH này
**Nếu [TEX] - a - 1 < \frac{1}{{16}} - a^2 < - a \Rightarrow f\left( { - a} \right) < 0[/TEX]
hiển nhiên g(x)=0 vô nghiệm t/m đk và f(x)=0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn
**Nếu [TEX] - a < \frac{1}{{16}} - a^2 \Rightarrow f\left( { - a} \right) > 0;f\left( {\frac{1}{{16}} - a^2 } \right) > 0;\frac{S}{2} = - a + \frac{1}{2} > - a[/TEX]
khi đó nếu f(x)=0 có nghiệm t/m thì sẽ có 2 nghiệm để chúng là duy nhất cần có
[TEX]\left( {2a - 1} \right)^2 - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{3}{4};a = \frac{1}{4}[/TEX] thỏa mãn đk trên
**Nếu [TEX] - a = \frac{1}{{16}} - a^2 [/TEX] f(x) có 2 nghiệm t/m -> loại
KL:
[TEX]\left[ \begin{array}{l} - a - 1 < \frac{1}{{16}} - a^2 < - a \\ a = \frac{3}{4};a = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {111} }}{6} < a < \frac{{2 - \sqrt 5 }}{4};\frac{{2 + \sqrt 5 }}{4} < a < \frac{{3 + \sqrt {111} }}{6};a = \frac{3}{4};a = \frac{1}{4}[/TEX]
P/s chưa thử giải nghiệm trực tiếp, có thể nó sẽ đơn giản hơn^^
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn