[Toán 11]BĐT lượng giác và GTLNN.

[duydtb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho tam giác ABC. C/m: [tex]cos{\frac{A}{3}}+cos{\frac{B}{3}}+cos{\frac{C}{3}}>\frac52[/tex]

2/ Tìm GTLN, NN của [tex]y= 2\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}[/tex] trên [tex][0;\frac{\pi}{2}][/tex]

Bạn xem cách gõ công thức toán ở đây:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917

 

[giangln.thanglong11a6]

2/ Tìm GTLN, NN của [tex]y= 2\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx}[/tex] trên [tex][0;\frac{\pi}{2}][/tex]

Do cosx và sinx [TEX]\in [0;1][/TEX] nên ta có [TEX]2\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx} \geq \sqrt{cosx}+\sqrt{sinx} \geq sin^2x+cos^2x=1[/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow \left{cosx=0\\sinx=1 [/TEX][TEX]\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}[/TEX]

Ta lại có [TEX]cos^2x+a+a+a \geq 4\sqrt[4]{a^3.cos^2x}= 4\sqrt[4]{a^3} . \sqrt{cosx}[/TEX]

[TEX]sin^2x+b+b+b \geq 4\sqrt[4]{b^3.sin^2x}=4\sqrt[4]{b^3} .\sqrt{sinx}[/TEX]

Để đẳng thức xảy ra ta sẽ chọn a và b sao cho [TEX]\left{\sqrt[4]{a^3}=2\sqrt[4]{b^3}\\a+b=1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{b=\frac{1}{1+\sqrt[3]{16}\\a=1-b[/TEX]

Vậy [TEX]max(2\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx})=\frac{1+3a+3b}{4 \sqrt[4]{b^3}}=\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}[/TEX]

 

[nothing.maths.vn]

1/ Cho tam giác ABC. C/m: [tex]cos{\frac{A}{3}}+cos{\frac{B}{3}}+cos{\frac{C}{3}}>\frac52[/tex]


Bạn xem cách gõ công thức toán ở đây:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917

Đặt [TEX]f(x) = cos x [/TEX] .

Ta có : f''(x) = -cosx < 0 với x là góc nhọn

Áp dụng BDT Jensen : [TEX]f(x_1) +f(x_2)+f(x_3) \geq 3f( \frac{x_1+x_2+x_3}{3})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow cos {\frac{A}{3} } + cos{ \frac{B} {3}} + cos{\frac{C} {3}} \geq 3 cos {\frac{180}{9}} = 3 cos20 > 3cos30 = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} > \frac{5}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow dpcm[/TEX]

@gianglnthanglong11a6 : Bài 2 của bạn loằng ngoằng quá . Cứ [TEX]Cauchy - Schwarz [/TEX] là OK thôi

@nguyenminh44 : Cảm ơn bạn đã cho ý kiến

 

[giangln.thanglong11a6]

@gianglnthanglong11a6 : Bài 2 của bạn loằng ngoằng quá . Cứ [TEX]Cauchy - Schwarz [/TEX] là OK thôi

Nếu Cauchy - Schwarz thì cũng vẫn phải dùng 2 lần để đưa từ căn bậc 2 lên bình phương mà anh.
Em dùng AM-GM cho nó dễ nghĩ.

 

[nothing.maths.vn]

Do cosx và sinx [TEX]\in [0;1][/TEX] nên ta có [TEX]2\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx} \geq \sqrt{cosx}+\sqrt{sinx} \geq sin^2x+cos^2x=1[/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow \left{cosx=0\\sinx=1 [/TEX][TEX]\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}[/TEX]

Ta lại có [TEX]cos^2x+a+a+a \geq 4\sqrt[4]{a^3.cos^2x}= 4\sqrt[4]{a^3} . \sqrt{cosx}[/TEX]

[TEX]sin^2x+b+b+b \geq 4\sqrt[4]{b^3.sin^2x}=4\sqrt[4]{b^3} .\sqrt{sinx}[/TEX]

Để đẳng thức xảy ra ta sẽ chọn a và b sao cho [TEX]\left{\sqrt[4]{a^3}=2\sqrt[4]{b^3}\\a+b=1[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{b=\frac{1}{1+\sqrt[3]{16}\\a=1-b[/TEX]

Vậy [TEX]max(2\sqrt{cosx}+\sqrt{sinx})=\frac{1+3a+3b}{4 \sqrt[4]{b^3}}=\frac{1}{\sqrt[4]{b^3}}[/TEX]

Đoạn tìm max . Solution

Áp dụng Cauchy-Schwarz : [TEX]y^2 \leq 5(sinx +cosx)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y^4 \leq 25(sinx+cosx)^2 \leq 25.2 ( sin^2x+cos^2x) = 50[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y \leq \sqrt[4]{50}[/TEX] [TEX]Done[/TEX]

 

[mcdat]

Đoạn tìm max . Solution

Áp dụng Cauchy-Schwarz : [TEX]y^2 \leq 5(sinx +cosx)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y^4 \leq 25(sinx+cosx)^2 \leq 25.2 ( sin^2x+cos^2x) = 50[/TEX]

[TEX]\Rightarrow y \leq \sqrt[4]{50}[/TEX] [TEX]Done[/TEX]

Sai rồi này. banj thử tìm điều kiện xảy ra dấu bằng đi &gt;-&gt;-