cho 0\leqx\leqpi/2 và n là sỗ nguên dương. cmr
(sinx mũ(n+2))/cosx mũ n + ( cosxmũ(n+2))/sinx mũ n \geq1
nếu có thời gian thì giải ki kĩ cho mình nha. cảm ơn bà con
Đề bài: Cho [TEX]0\leq x \leq \frac{\pi}{2}[/TEX] và n là số nguyên dương. Cmr:
[TEX] \frac{sin^{n+2}x}{cos^nx}+\frac{cos^{n+2}x}{sin^nx}\geq1 [/TEX]
Cm: Cm theo phương pháp quy nạp:
- Với n=1 ta có: [TEX]\frac{sin^3x}{cosx}+\frac{cos^3x}{sinx}[/TEX]\geq1
\Leftrightarrow [TEX]sin^4x+cos^4x-sinxcosx\geq0\Leftrightarrow2sin^2xcos^2x-sinxcosx+1\geq0[/TEX] (đúng)
- Giả sử đẳng thức đúng với n=k (k là số nguyên dương), tức là ta có giả thiết quy nạp: [TEX] \frac{sin^{k+2}x}{cos^kx}+\frac{cos^{k+2}x}{sin^kx}\geq1 [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]sin^{2k+2}x+cos^{2k+2}x[/TEX]\geq[TEX]sin^kxcos^kx[/TEX]
Ta phải cm đẳng thức cũng đúng với n=k+1, tức là phải cm:
[TEX] \frac{sin^{k+3}x}{cos^{k+1}x}+\frac{cos^{k+3}x}{sin^{k+1}x}\geq1 [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]sin^{2k+4}x+cos^{2k+4}x[/tex]\geq[tex]sin^{k+1}xcos^{k+1}x[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{sin^{2k+3}x}{cosx}+\frac{cos^{2k+3}x}{sinx}[/tex]\geq[tex]sin^kxcos^kx[/tex]
\Leftrightarrow [TEX]tanx.sin^{2k+2}x+cotx.cos^{2k+2}x[/TEX]\geq[TEX]sin^kxcos^kx[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](tanx-1)sin^{2k+2}x+(cot-1).cos^{2k+2}x\geq0[/TEX]
Do [TEX]0\leq x \leq \frac{\pi}{2}[/TEX] nên sinx, cosx \geq0, và tanx\leq1\Leftrightarrowcotx\geq1.
- Nếu tanx\leq1 \Leftrightarrowsinx\leqcosx thì cotx\geq1 \Rightarrow [TEX](cot-1).cos^{2k+2}x\geq (tanx-1)sin^{2k+2}x [/TEX]\Rightarrow (2) đúng.
- Nếu tanx\geq1 \Leftrightarrowsinx\geqcosx thì cotx\leq1 \Rightarrow [TEX](cot-1).cos^{2k+2}x\leq (tanx-1)sin^{2k+2}x[/TEX] \Rightarrow (2) đúng.
Vậy theo phương pháp quy nạp, đẳng thức được chứng minh.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn