[toán 11] 1 số bài về nhị thức niu tơn

[hung123456]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giuó mình xiu nhaz ...hj ^^

bài 1.:Tính tổng

[TEX]S=C_n^1+3C_n^2+7C_n^3+...+(2^n-1).C_n^n[/TEX]

bài 2. C/m

1.[TEX]1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...nC_n^n=n.2^{n-1}[/TEX]

2.[TEX]C_n^o+2C_n^1+3C_n^2+...+(n+1).C_n^n=(n+2).2^{n-1}[/TEX]

3.[TEX]1C_n^1-2C_n^2+3C_n^3-4C_n^4+...n(-1)^{n-1}.C_n^n=0[/TEX]

4.[TEX]\frac{1}{2}.C_n^1-\frac{1}{3}.C_n^2+\frac{1}{4}.C_n^3-...+\frac{1}{n+1}.(-1)^{1+n}.C_n^n=\frac{n}{n+1}[/TEX]

5.[TEX]2^1.C_n^0+\frac{2^2}{2}.C_n^1+\frac{2^3}{3}.C_n^2+\frac{2^4}{4}.C_n^3+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}.C_n_n=\frac{3^{n+1}-1}{n+1[/TEX]

6.[TEX]21.C_n^2+3.2.C_n^3+4.3.C_n^4+...+n(n-1)C_n^n=n(n-1).2^{n-2}[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Các bài này post ở box 11 chưa có phù hợp bạn ạ,bài không đúng chương trình,toàn sử dụng đạo hàm,tích phân thế này.

2.[TEX]C_n^o+2C_n^1+3C_n^2+...+(n+1).C_n^n=(n+2).2^{n-1}[/TEX]

Ta có:[TEX] (1+x)^n=C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^{n-1}_{n}x^{n-1}+C^n_nx^n[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(1+x)^n=xC^0_n+C^1_nx^2+C^2_nx^3+...+C^{n-1}x^n+C^n_nx^{n+1}(1)[/TEX]
Lấy đạo hàm theo 2 vế của (1),ta được:
[TEX](1+x)^n+nx(1+x)^{n-1}=C^0_n+2C^1_nx+3C^2_nx^2+...+nC^{n-1}_nx^{n-1}+(n+1)C^n_nx^n(2)[/TEX]
thay x=1 vào (2) ta được:
[TEX]2^n+n.2^{n-1}=C^0_n+2C^1_n+3C^2_n+...+nC^{n-1}_n+(n+1)C^n_n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT=2^n+n.2^{n-1}=(n+2).2^{n-1}[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

1.[TEX]1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...nC_n^n=n.2^{n-1}[/TEX]

6.[TEX]2.1.C_n^2+3.2.C_n^3+4.3.C_n^4+...+n(n-1)C_n^n=n(n-1).2^{n-2}[/TEX]

Làm gộp luôn 2 câu này :
Với mọi x,n là số nguyên dương ta có:
[TEX] (1+x)^n=C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^{n-1}_{n}x^{n-1}+C^n_nx^n(1)[/TEX]

Lấy đạo hàm theo x 2 vế của (1),ta được:
[TEX]n(1+x)^{n-1}=C^1_n+2C^2_nx+......+nC^n_nx^{n-1}(2)[/TEX]

1.Thay x = 1 vào (2) ta được:
[TEX]1C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...nC_n^n=n.2^{n-1}[/TEX]


6.Lấy đạo hàm theo x 2 vế của (2) ta được:
[TEX]n(n-1)(1+x)^{n-2}=2.1.C^2_n+3.2.C^3_n+...+n(n-1)C^n_nx^{n-2}[/TEX]
Thay x=1,ta đc
[TEX]2.1.C_n^2+3.2.C_n^3+4.3.C_n^4+...+n(n-1)C_n^n=n(n-1).2^{n-2}[/TEX]

5.[TEX]2^1.C_n^0+\frac{2^2}{2}.C_n^1+\frac{2^3}{3}.C_n^2+\frac{2^4}{4}.C_n^3+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}.C_n_n=\frac{3^{n+1}-1}{n+1[/TEX]

5.[TEX]2^1.C_n^0+\frac{2^2}{2}.C_n^1+\frac{2^3}{3}.C_n^2+\frac{2^4}{4}.C_n^3+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}.C_n_n=\frac{3^{n+1}-1}{n+1[/TEX]

Với mọi x,n là số nguyên dương ta có :
[TEX](1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kx^k(3)[/TEX]

Lấy tích phân theo 2 vế của (3),được:
[TEX]\oint_{0}^{t}(1+x)^ndx=\oint_{0}^{t}\sum_{k=0}^n C_n^kx^k[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{(1+t)^{n+1}-1}{n+1}=\sum_{k=0}^n \frac {t^{k+1}C^k_n}{k+1}(4)[/TEX]

Thay t=2 vào(4)
\Rightarrow [TEX]2^1.C_n^0+\frac{2^2}{2}.C_n^1+\frac{2^3}{3}.C_n^2+\frac{2^4}{4}.C_n^3+...+\frac{2^{n+1}}{n+1}.C_n_n=\frac{3^{n+1}-1}{n+1[/TEX]