Cho dãy [TEX]x1,x2,...,xn[/TEX] dương, A=min{[TEX]x_1,x_2,...,x_n[/TEX]} ,B=max{[TEX]x_1,x_2,...,x_n[/TEX]}
CMR [TEX]A< \frac{(x_1+x_2+...x_n)^2}{x_1+2x_2+...+nx_n} < 2B[/TEX]
[TEX]A\left( {{x_1} + 2{x_2} + .. + n{x_n}} \right) \le \frac{{{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}}}{n}\left( {{x_1} + 2{x_2} + .. + n{x_n}} \right) = \left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}} \right)\left( {\frac{1}{n}{x_1} + \frac{2}{n}{x_2} + .. + \frac{n}{n}{x_n}} \right) < {\left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}} \right)^2}[/TEX]
Bđt
[TEX]\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_n}} \right)}^2}}}{{\left( {{x_1} + 2{x_2} + .. + n{x_n}} \right)}} < 2B[/TEX]
chứng minh bằng quy nạp chẳng hạn
với n=2 hiển nhiên đúng, g/s đúng với n=k,ta cần chứng minh với n=k+1
Dễ thấy B=max{x1;..;xk}<=max{x1;x2;..;xk;x(k+1)}=B'
[TEX]\begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_k} + {x_{k + 1}}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_k}} \right)^2} + 2\left( {{x_1} + {x_2} + .. + {x_k}} \right){x_{k + 1}} + x_{k + 1}^2\\ < 2B'\left( {{x_1} + 2{x_2} + .. + k{x_k}} \right) + 2kB'{x_{k + 1}} + B'{x_{k + 1}} < 2B'\left( {{x_1} + 2{x_2} + .. + k{x_k} + \left( {k + 1} \right){x_{k + 1}}} \right)\end{array}[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn