Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: [tex](\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})^2=\overrightarrow{MA}^{2}+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}).[/tex]
=>[tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=\frac{(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})^2-(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2)}{2}=\frac{(3\overrightarrow{MG})^2-(\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2)}{2}[/tex] (1)
Lại có [tex]\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})^2+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})^2=3.\overrightarrow{MG}^2+2.\overrightarrow{MG}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+GA^2+GB^2+GC^2=3.\overrightarrow{MG}^2+GA+GB+GC[/tex]
Thay vào (1) được [tex]\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}= \frac{6\overrightarrow{MG}^2-(GA^2+GB^2+GC^2)}{2}[/tex].
Vì GA^2+GB^2+GC^2 không đổi nên giá trị nhỏ nhất đạt được khi [tex]6.\overrightarrow{MG}^2[/tex] đạt giá trị nhỏ nhất.
=> M trùng G.
Vậy M là trọng tâm tam giác ABC.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
