[Toán 10]

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1. Cho các số nguyên $x_1,x_2,...,x_6$ được xếp trên một vòng tròn và thỏa mãn điều kiện $x_1+x_2+...+x_6>0$.
Thao tác: Chọn số $a_i$ ($i\in\{1,2,3,4,5,6\}$) và thay nó thành trị tuyệt đối hiệu hai số kề nó.
Chứng minh rằng qua hữu hạn thao tác thì ta sẽ có được các số trên đường tròn hoàn toàn là các số $0$.
Bài 2. Một quốc gia có hữu hạn các thành phố sao cho từ thành phố này có đường bay trực tiếp đến $3$ thành phố khác và với một thành phố bất kỳ nào có thể bay đến thành phố khác qua nhiều nhất một thành phố trung gian. Hỏi số thành phố nhiều nhất của quốc gia đó là bao nhiêu?
Bài 3. Chứng minh rằng mọi đa giác lồi cho diện tích bằng $1$ luôn có thể phủ bằng một hình chữ nhật có diện tích không lớn hơn $2$.
Bài 4. Cho hai người chơi thông minh chơi một trò hơi với quy tắc như sau: Khởi đầu là số $n=1$. Người chơi thực hiện thao tác thay số $n$ thành số $n+k$ với $k$ là một ước số nguyên dương của $n$.
Biết rằng hai người chơi chơi luân phiên nhau. Người thắng là người mà sau khi thực hiện thao tác, số được tạo thành không bé hơn $2014$. Hỏi người chơi đi trước hay người chơi đi sau, người nào là người thắng trong trò chơi?
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho thỏa mãn điều kiện: $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2)$
Bài 6. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: $f(x+f(y))=2y+f(x)$
Bài 7. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D,E,F$ lần lược trên các đoạn thẳng $BC, CA, AB$ sao cho $AD, BE, CF$ đồng quy. Các điểm $X,Y,Z$ lần lược trên các đoạn thẳng $EF, FD, DE$ sao cho $DX, EY, FZ$ đồng quy. Chứng minh rằng $AX, BY, CZ$ đồng quy.
Bài 9. Cho hàng điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng các điều kiện sau tương đương:
$(i)$ $(AB,CD)=\lambda$
$(ii)$ $\dfrac{1-\lambda}{\overline{AB}}=\dfrac{1}{\overline{AD}}-\dfrac{\lambda}{\overline{AC}}$
$(iii)$ $IA^2=\overline{IC}.\overline{ID}+\dfrac{1+\lambda}{1-\lambda}\overline{IA}.\overline{DC}, IB^2=\overline{IC}.\overline{ID}+\dfrac{1+\lambda}{1-\lambda}\overline{IB}.\overline{CD}$ với $I$ là trung điểm $AB$
$(iv)$ $\overline{AC}.\overline{AD}=\overline{AB}. \overline{AK}$ với $K$ thỏa mãn $(CD,K)=\lambda$
Bài 10. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$. Điểm $D$ bất kỳ trên $(O)$. Từ $D$ kẻ hai tiếp tuyến đến $(I)$ cắt $(O)$ tại $E$ và $F$. Chứng minh $EF$ tiếp xúc với $(I)$
Bài 11. Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp là $O$, các đường cao $AD,BE,CF$ ($D\in BC, E\in CA, F\in AB$). $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$. $AO$ cắt $EF$ tại $N_A$. $M_A$ là trung điểm $BC$. $AN$ cắt $M_AN_A$ tại $X$. Định nghĩa $Y,Z$ ứng với $B,C$ một các tương tự. Chứng minh rằng $DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$ (đồng quy thì ok rồi, còn trên đường thẳng Euler thì )