[Toán 10]

[thythy061041]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, cho tam giác $ABC$ có $a.cosB - b.cosA = a.sinA - b.sinB$. cmr tam giác $ABC$ vuông hoặc cân
2, cho tam giác ABC, BM, CN là các trung tuyến. Chứng minh các điều kiện sau là tương đương:
a, BM vuông góc với CN
b, $b^2 + c^2 = 5a^2$
c, $cot A = 2(cotB +cot C)$
3, chứng minh với mọi tam giác vuông, hai cạnh góc vuông $b,c$ ta có quan hệ
$b+ c = 2(R+r)$
4, tam giác ABC có $\dfrac{b}{c}=\dfrac{m_b}{m_c}\ne 1$ . Chứng minh rằng
$2.cotA = cot B + cot C$

 

[lp_qt]

2.
♦cm $a$ \Leftrightarrow $b$

Đặt $G= BM \cap CN$

$MB \bot CN$ \Leftrightarrow $BG^{2}+CG^{2}=BC^{2}$

\Leftrightarrow $(\dfrac{2}{3}m_b)^2+(\dfrac{2}{3}m_c)^2=a^{2}$

\Leftrightarrow $4m_b^2+4m_c^2=9a^2$

\Leftrightarrow $2(c^2+a^2)-b^2+2(a^2+b^2)-c^2=9a^2$

\Leftrightarrow $b^{2}+c^{2}=5a^{2}$

♦cm $c$ \Leftrightarrow $b$

$cotA=2(cotB+cotC)$

\Leftrightarrow $\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}=2.( \dfrac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{4S}+ \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4S})$

\Leftrightarrow $b^{2}+c^{2}=5a^{2}$

\Rightarrow đpcm◘

 

[lp_qt]

4.
•$\dfrac{b}{c}=\dfrac{m_b}{m_c}$

\Leftrightarrow $\dfrac{b^{2}}{c^{2}}=\dfrac{m_b^2}{m_c^2}=\dfrac{\dfrac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}{\dfrac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}=\dfrac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$

\Leftrightarrow $2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-c^{4}=2a^{2}b^{2}+2c^{2}b^{2}-b^{4}$

\Leftrightarrow $2a^{2}(c^{2}-b^{2})-(c^{2}-b^{2})(c^{2}+b^{2})=0$

\Leftrightarrow $b^{2}+c^{2}=2a^{2} (\dfrac{b}{c} \ne 1 ) (♥)$

•$2.cotA=cotB+cotC$
\Leftrightarrow $2.\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4S}=\dfrac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{4S}+\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{4S}$

\Leftrightarrow $b^{2}+c^{2}=2a^{2} (♥♥)$

từ (♥) và (♥♥) \Rightarrow đpcm◘

 

[hien_vuthithanh]

3, chứng minh với mọi tam giác vuông, hai cạnh góc vuông $b,c$ ta có quan hệ
$b+ c = 2(R+r)$

Đề \Leftrightarrow Tam giác ABC vuông tại A ,có $R ,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp.C/m $AB+AC=2(R+r)$


Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của đg tròn nội tiếp tam giác với các cạnh $AB,BC,AC$

Ta có $2(R+r)=BC+AE+AD=(BF+AD)+(FC+AE)=(BD+AD)+(EC+AE)=AB+AC$ ◘

 

[lp_qt]

3.
cách khác )
$\Delta ABC $ vuông tại $A$ \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}S=\dfrac{bc}{2} & \\ a^{2}=b^{2}+c^{2} & \\ a=2R& \end{matrix}\right.$

$b+c=2(R+r) $

\Leftrightarrow $b+c=a+2.\dfrac{S}{p}$

\Leftrightarrow $p.b+p.c=a.p+2S$

\Leftrightarrow $2p.b+2p.c=2p.a+4S$

\Leftrightarrow $(a+b+c)b+(a+b+c).c=(a+b+c)a+4S$

\Leftrightarrow $ac+b^2+bc+ac+bc+c^2=a^2+ab+ac+4.S$

\Leftrightarrow $bc=2S$ (luôn đúng)

\Rightarrow đpcm◘

 

[lp_qt]

1.

$a.cosB-b.cosA=a.sinA-b.sinB$

\Leftrightarrow $a.\dfrac{a^{2}+c^2-b^2}{2ac}-b.\dfrac{b^{2}+c^2-a^2}{2ac}=a.\dfrac{a}{2R}-b.\dfrac{b}{2R}$

\Leftrightarrow $\dfrac{a^{2}+c^2-b^2}{c}-\dfrac{b^{2}+c^2-a^2}{c}=\dfrac{a^2}{R}-\dfrac{b^2}{R}$

\Leftrightarrow $\dfrac{2(a^2-b^2)}{c}=\dfrac{a^2-b^2}{R}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}a^2-b^2=0 & \\ \dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{R} &
\end{bmatrix}$

\Leftrightarrow $\begin{bmatrix}a=b & \\ c=2R& \end{bmatrix}$

•$a=b$ \Leftrightarrow $\Delta ABC$ cân tại $C$

•$c=2R$ \Leftrightarrow $2R.sinC=2R$ \Leftrightarrow $sinC=1$

\Leftrightarrow $C=90^{\circ}$

\Rightarrow đpcm◘