[Toán 10] Xoay quanh 1 bất đẳng thức

[viethoang1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mời các nhân tài BĐT vào đây làm...
Bổ đề:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $abc=1$ thì $\sum \dfrac{1}{a^2+a+1}\ge 1$
Áp dụng
Với chung giả thiết ba số thực dương, tích bằng 1. Chứng minh rằng:
$\bigstar $ VD1:
$$\sum \dfrac{1}{a^{2}-a+1}\le 3$$
$\bigstar $ VD2:
$$\sum \dfrac{a}{a^{2}+3}\le \dfrac{3}{4}$$
$\bigstar $ VD3:
$$\sum \dfrac{a}{a^{3}+1}\le \dfrac{3}{2}$$
$\bigstar $ VD4:
$$\sum \dfrac{a}{\sqrt{4a^{2}+2ab+3b^{2}}}\le 1$$
$\bigstar $ VD5:
$$\sum \dfrac{a}{\sqrt{4a^{2}+3ab+2b^{2}}}\le 1$$
$\bigstar $ VD6:
$$\sum \dfrac{1}{\left ( a+1 \right )^{2}}\ge \dfrac{3}{4}$$
$\bigstar$ VD 7:
$$\sum \dfrac{a+3}{(a+1)^2}\ge 3$$
$\bigstar$ VD 8:
$$\sum \dfrac{1}{(a+1)^3}\ge \dfrac{3}{8}$$
$\bigstar$ VD 9:
$$\sum \dfrac{1}{3a^2+(a-1)^2}\ge 1$$
$\bigstar$ VD 10:
$$\sum \sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+\dfrac{ab}{4}+b^2}}\le 2$$
$\bigstar$ VD 11:
$$\sum \sqrt{\dfrac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\ge 1$$

Còn thì cứ viết ủng hộ...


P/s:"Với $a,b,c$ dương thỏa mãn tích của chúng bằng $1$ thì"

$$\sum \dfrac{1}{a^{2m}+a^{m}+1}\ge 1$$
$$\sum \dfrac{a^{2m}}{a^{2m}+a^m+1}\ge 1$$
$$\sum \dfrac{a^{m}+1}{a^{2m}+a^{m}+1}\le 2$$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

$\sum \dfrac{1}{x^2+x+1} \ge 1$

Đặt $x=\dfrac{1}{a^2}; y=\dfrac{1}{b^2};z=\dfrac{1}{c^2}$

Ta được: $\sum \dfrac{a^4}{a^4+a^2+1} \ge 3 \leftrightarrow \sum \dfrac{2(a^2+1)}{a^4+a^2+1} \le 4$

$\leftrightarrow \sum \dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{a^2-a+1}\le 4$

Ta có điều phải chứng minh.

 

[hien_vuthithanh]

Bài 3

$\sum \dfrac{a}{a^3+1}$=$\sum \dfrac{1}{a^2+bc}(vì abc=1)$
\Rightarrow cần c/m $\sum \dfrac{1}{a^2+bc}$ \leq $\dfrac{3}{2} $
ta có $\dfrac{1}{a^2+bc}$ \leq$\dfrac{1}{2}$ @};- \Leftrightarrow 2= 2abc \leq $a^2+bc$ \Leftrightarrow 2 \leq $\dfrac{a}{bc}+\dfrac{bc}{a}$ (luôn đúng theo Cauchy)
\Rightarrow @};- đúng
tt\Rightarrow dpcm