Giả sử $R_{x}\left(\vec{a}\right)$ là một vector thỏa mãn $\left(\vec{a},R_{x}\left(\vec{a}\right)\right) = x$ và $\left|R_{x}\left(\vec{a}\right)\right|=\left|\vec{a}\right|$
Khi đó nếu $R_{x}\left(\vec{a}\right)=0$ thì $\left|R_{x}\left(\vec{a}\right)\right|=0$ nên $\vec{a}=0$, ngược lại đúng.
Theo hệ thức Salor thì $\left(\vec{a}, \vec{b}\right)=\left(a,R_{x}\left(\vec{a}\right) \right)+\left(R_{x}\left(\vec{b}\right), \vec{b}\right)+\left(R_{x}\left(\vec{a}\right), R_{x}\left(\vec{b}\right)\right)=\left(R_{x}\left(\vec{a}\right), R_{x}\left(\vec{b}\right)\right)$
Từ đây ta có ngay $\vec{a}\vec{b}=R_{x}\left( \vec{a}\right)R_{x}\left( \vec{b} \right)$. Khi đó ta có $R_{x}\left(\vec{u}\right)\left(R_{x}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)-R_{x}\left(\vec{a}\right)-R_{x}\left(\vec{b}\right)\right)=\vec{u}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)-\vec{u}\vec{a}-\vec{u}\vec{b}=0$ với $\vec{u}\ne 0$ nên $R_{x}\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=R_{x}\left(\vec{a}\right)+R_{x}\left(\vec{b}\right)$
Giả sử $k=\dfrac{\left|\vec{OA}+\vec{OB}\right|}{AB}$, dễ thấy $\vec{OA}+\vec{OB}$ vuông góc với $\vec{AB}$
Khi đó $2VT=kR_{\pi/2}\left(\vec{AB}\right)+kR_{\pi/2}\left(\vec{BC} \right)+...+kR_{\pi/2}\left(\vec{AE}\right)=kR_{\pi/2}\left(\vec{AB}+\vec{BC}+...+\vec{EA}\right)=0$
Với cách làm trên, ta không chỉ giải quyết với ngũ giác đều mà ta có thể giải quyết cho $n$ giác đều.
Trong trường hợp cụ thể như ngũ giác đều, ta có cách làm ngắn gọn hơn:
Xét $O'$ và $O''$ là điểm đối xứng của $O$ qua $AB$ và $CD$,$E'$ là điểm đối xứng của $E$ qua $O$
Dễ thấy $O', B, E'$ thẳng hàng, từ đó suy ra $\widehat{O'E'O}=180^o-\widehat{BAE}=72^{o}=\widehat{BOC}=\widehat{O'OE'}$ nên $O'E'=O'O$
Vậy là $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD}+\vec{OE}=\vec{OO'}+\vec{OO''}+\vec{OE}=\vec{OE}+\vec{OE'}=0$
Và cũng có thể có cách nhanh hơn cách dưới nữa, tạm thời chưa nghĩ ra.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn