[Toán 10] Ứng dụng bất đẳng thức Côsi

[nguyengiahoa10]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho $\Delta ABC$ có $h_a+h_b+h_c=9r$.
Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
2) $\Delta ABC$ có đặc điểm gì nếu:
a) $S=\dfrac{1}{4}(a+b-c)(a-b+c)$
b) $S=\dfrac{\sqrt{3}}{36}(a+b+c)^2$

Giúp mình với các bạn. Cám ơn.

 

[happy.swan]

Áp dụng công thức tính diện tích:
$S=\frac{1}{2}a.h_a$
$P= h_a +h_b + h_c = \frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$
Áp dụng công thức tính diện tích: S=p.r=$\frac{a+b+c}{2}.r$
Do đó: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{9}{a+b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có :
$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ \geq $\frac{9}{a+b+c} $
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Tức là tam giác ABC đều.

 

[happy.swan]

Mình đoán câu 2a là tam giác vuông tại A.
Biến đổi như sau:
$S=\frac{1}{4}(a+b-c)(a-b+c)$
$S=\frac{1}{4}(a^2-b^2-c^2)+\frac{1}{2}bc.$
Đến đây AD bất đẳng và các công thức trong tam giác là ra.