[Toán 10] Tìm min

[kimyejim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1: cho: $xy+yz+xz=1$
Tìm MIN của $x^4+y^4+z^4$

2: Cho $abc=1$ và $a^3>36$. C/M: $\frac{a^2}{3} +b^2+c^2\ge ab+bc+ac$

chú ý cách gõ công thức!

 

[lp_qt]

1.
Ta có:

$x^2+y^2+z^2\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{3}\ge xy+yz+xz$

Áp dụng

$x^4+y^4+z^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}\ge \dfrac{(xy+yz+xz)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=\dfrac{\pm1}{\sqrt{3}}$

 

[hien_vuthithanh]

1/

1: cho: $xy+yz+xz=1$
Tìm MIN của $x^4+y^4+z^4$

Cách khác

$x^4+y^4+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9} \ge \dfrac{4}{3}|xy|\ge \dfrac{4}{3}xy$

TT \Rightarrow $2(x^4+y^4+z^4) +\dfrac{2}{3} \ge \dfrac{4}{3}(xy+yz+zx)$

\Leftrightarrow $x^4+y^4+z^4 \ge \dfrac{1}{3}$

\Rightarrow $Min=\dfrac{1}{3}$ tại ...

 

[hien_vuthithanh]

2: Cho $abc=1$ và $a^3>36$. C/M: $\frac{a^2}{3} +b^2+c^2\ge ab+bc+ac$

$VT-VP=\dfrac{a^{2}}{4}+b^{2}+c^{2}-ab-bc+2bc+\dfrac{a^{2}}{12}=(\dfrac{a}{2}-b-c)^{2}+\dfrac{a^{2}-36bc}{12}>0$ \Rightarrow đpcm


Cách khác:
Từ giả thiết suy ra $a>0$ và $bc>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\dfrac{a^2}{3}+(b+c)^2-3bc-a(b+c)\ge 0\\ \iff \dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}\ge 0$
Vì $a^3>36$ nên $\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{3}{a^3}> \left(\dfrac{b+c}{a}\right)^2-\dfrac{b+c}{a}+ \dfrac{1}{4}= \left(\dfrac{b+c}{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2 >0 $

Nguồn VMF​

 

[congchuaanhsang]

1, Áp dụng liên tiếp C-S và A-G ta có:

$x^4+y^4+z^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3} \ge \dfrac{(x+y+z)^4}{27} \ge \dfrac{(xy+yz+xz)^2}{3} = \dfrac{1}{3}$