[toán 10] Tìm Min Max: $D=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

[tuyetroimuahe_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 2 số a,b không đồng thời bằng 0. Tìm Min, Max của:

$D=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

 

[hoang_duythanh]

Có $2(a-b)^2$\geq0
<=>$2a^2-4ab+2b^2$\geq0
<=>$3(a^2-ab+b^2)$\geq$a^2+ab+b^2$
Do $a^2-ab+b^2$ và$a^2+ab+b^2$ đều >0
=>$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$\geq$\frac{1}{3}$
tương tự $2(a+b)^2$\geq0 <=>$3(a^2+ab+b^2)$\geq$a^2-ab+b^2$
Đồ $a^2-ab+b^2$ và$a^2+ab+b^2$ đều >0=>$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$\leq3
Vậy Min D= $\frac{1}{3}$ đạt a=b khác 0
Max D= 3 đạt khi a=-b khác 0

 

[congchuaanhsang]

Cách giải khác:
Xét mẫu số $a^2$+ab+$b^2$=$(a+\frac{b}{2})^2$+$\frac{3b^2}{4}$\geq0 với mọi a,b
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrowa=b=0
Mà theo đề bài a,b không đồng thời bằng 0\Rightarrow$a^2$+ab+$b^2$>0
*Tìm min: D=$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$
\Leftrightarrow D=$\frac{3a^2-3ab+3b^2}{3(a^2+ab+b^2}$=$\frac{2(a^2-2ab+b^2)+(a^2+ab+b^2)}{3(a^2+ab+b^2)}$
\LeftrightarrowD=$\frac{2(a-b)^2+(a^2+ab+b^2)}{3(a^2+ab+b^2)}$=$\frac{2(a-b)^2}{a^2+ab+b^2}$+$\frac{1}{3}$
Vì $a^2$+ab+$b^2$>0 ; $2(a-b)^2$\geq0\Rightarrow$\frac{2(a-b)^2}{a^2+ab+b^2}$\geq0 với mọi a,b ko đồng thời bằng 0
\LeftrightarrowD=$\frac{2(a-b)^2}{a^2+ab+b^2}$+$\frac{1}{3}$\geq$\frac{1}{3}$ với mọi a,b ko đồng thời bẵng 0
Vậy $D_{min}$=$\frac{1}{3}$\Leftrightarrowa=b và a,b khác 0
*Tìm max D=$\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$=$\frac{-2(a^2+2ab+b^2)+3(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}$
\LeftrightarrowD=$\frac{-2(a+b)^2+3(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}$=$\frac{-2(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$+3
Vì $a^2$+ab+$b^2$>0 với mọi a,b khác 0 ; $-2(a+b)^2$\leq0
\Rightarrow$\frac{-2(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$\leq0 với mọi a,b khác 0
\LeftrightarrowD=$\frac{-2(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$+3\leq3 với mọi a,b khác 0
Vậy $D_{max}$=3\Leftrightarrowa=-b và a,b khác 0