[Toán 10] Tìm min, max của biểu thức 2 biến

[nghgh97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x \ge 0,y \ge 0$ và $x+y=1$. Tìm min và max của biểu thức sau:
$A=(4x^2+3y)(4y^2+3x)+25xy$

 

[shibatakeru]

Rút $x=1-y$ ; thay vào được:
$A=(4y^2-5y+4)(4y^2-3y+3)+25y-25y^2 \\ = (4y^2-4y+\dfra2)^2-(y-\dfrac12)^2-25(y-\dfrac12)^2+\dfrac{25}4 \\ = ((2y-1)^2+\dfrac52)^2-\dfrac{13}2(2y-1)^2+\dfrac{25}4$

Đặt $(2y-1)^2=a$ với $0 \le a \le 1$

$A=(a+\dfrac52)^2-\dfrac{13}2a+\dfrac{25}4 \\ =a^2-\dfraa+\dfrac{25}2 \\ = (a-\dfrac34)^2+\dfrac{191}{16}$

Do $0 \le a \le 1$ nên GTLN là $12$ khi $a=\dfrac34$; GTNN là $\dfrac{191}{16}$ khi $a=1$