[Toán 10]Tìm gtnn của $P=\sum\dfrac1{x^3}+\sum\dfrac1{x^2-xy+y^2}$

[vy000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Lâu lâu post 1 bài cho vui nhỉ ) (trong Đề THPT Chuyên ĐH Vinh ~> đừng google ha ^^)

Cho x,y,z dương và $x+y+z \le 3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\dfrac1{x^3}+\dfrac1{y^3}+\dfrac1{z^3}+\dfrac1{x^2-xy+y^2}+\dfrac1{y^2-yz+z^2}+\dfrac1{z^2-zx+x^2}$

 

[conga222222]

khó quá không làm được @@
...................................................................

 

[vy000]

Thì lâu lâu thấy bài hay hay up ^^
Gợi ý nho nhỏ, đưa đám bậc 3 về bậc 2

 

[shibatakeru]

Có :
$\sum\dfrac1{x^3}+\sum\dfrac1x \ge \sum\dfrac2{x^2}$
Với $x+y+z \le 3$ , ta có $\sum\dfrac1x \le \sum\dfrac1{x^2}$

\Rightarrow $\sum\dfrac1{x^3} \ge \sum\dfrac1{x^2}$

\Leftrightarrow $P \ge \sum\dfrac2{x^2}+\sum\dfrac1{x^2-xy+y^2}$

Có: $\sum(\dfrac1{x^2}+\dfrac1{y^2}+\dfrac1{x^2-xy+y^2}) \ge \sum(\dfrac3{xy}) $ (Biến đôi tương đương nhé ^^)

\Leftrightarrow $P \ge \sum(\dfrac3{xy}) \ge 9$