Giả thiết: $(x + y - 1)^2 = xy$ \Leftrightarrow $x+y=\sqrt{xy}+1$
$P = \frac{1}{xy} + \frac{1}{x^2+ y^2} + \frac{\sqrt[]{xy}}{x + y}$
=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{(x+y)^{2}-2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{(\sqrt{xy}+1)^{2}-2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$
=$\frac{1}{xy}+\frac{1}{-xy+2\sqrt{xy}+1}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$
Đặt $\sqrt{xy}=t$ theo giả thiết, ta có: $xy=(x+y-1)^{2}$\geq $(2\sqrt{xy})$\Leftrightarrow $3xy-4\sqrt{xy}+1=0$\Leftrightarrow $\frac{1}{3}$\leq$ \sqrt{xy}$\leq 1 hay $\frac{1}{3}$\leq t\leq 1
Khi đó:
$P=\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{(-t^{2}+2t+1)}+\frac{t}{t+1}$
Xét hàm: $f(t)=\frac{1}{t^{2}}+\frac{1}{(-t^{2}+2t+1)}+\frac{t}{t+1}$ trên $[\frac{1}{3};1]$
Ta có: $f'(t)=\frac{-2}{t^{3}}-\frac{2(1-t)}{(-t^{2}+2t+1)^{2}}+\frac{1}{(t+1)^{2}}$< 0,\forall $t\in [\frac{1}{3};1]$
Hàm f(t) nghịch biến trên $[\frac{1}{3};1]$
Suy ra $f(t)$\geq $f(1)=2$
Vậy $minP=2$, đạt được khi $x=y=1$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn