[Toán 10] Tìm giá trị nhỏ nhất

T

transformers123

reforming said:
\[\begin{array}{l}
P = \sqrt {{x^4} - 4{x^2} + \frac{{52}}{9}} + \sqrt {{x^4} - 10{x^2} + \frac{{289}}{9}} = \sqrt {{{({x^2} - 2)}^2} + \frac{{16}}{9}} + \sqrt {{{({x^2} - 5)}^2} + \frac{{64}}{9}} \\
\end{array}\]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có:

$P=\sqrt{(x^2-2)^2+(\dfrac{4}{3})^2}+\sqrt{(5-x^2)^2+(\dfrac{8}{3})^2}$

$\iff P \ge \sqrt{(x^2-2+5-x^2)^2+(\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3})^2}$ (bất đẳng thức Minkowski)

$\iff P \ge \sqrt{25}$ (thu gọn)

$\iff P \ge 5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{(x^2-2)^2}{(5-x^2)^2}=\dfrac{16}{9}:\dfrac{64}{9} \\ \iff \dfrac{x^2-2}{5-x^2}=\dfrac{1}{2}\\ \iff 2x^2-4=5-x^2\\ \iff x=\pm \sqrt{3}$
 
D

demon311

transformers123 said:

Ta có:

$P=\sqrt{(x^2-2)^2+(\dfrac{4}{3})^2}+\sqrt{(5-x^2)^2+(\dfrac{8}{3})^2}$

$\iff P \ge \sqrt{(x^2-2+5-x^2)^2+(\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3})^2}$ (bất đẳng thức Minkowski)

$\iff P \ge \sqrt{25}$ (thu gọn)

$\iff P \ge 5$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\dfrac{(x^2-2)^2}{(5-x^2)^2}=\dfrac{16}{9}:\dfrac{64}{9} \\ \iff \dfrac{x^2-2}{5-x^2}=\dfrac{1}{2}\\ \iff 2x^2-4=5-x^2\\ \iff x=\pm \sqrt{3}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Lớp 10 thì nên dùng vecto chứ ít ai quay lại Minkowsky lắm

Cho $\overrightarrow{ u}=(a;b) \ ; \ \overrightarrow{ v}=(c;d) \\
|\overrightarrow{ u}|+|\overrightarrow{ v}| \ge |\overrightarrow{ u} \pm \overrightarrow{ v}| \\
\Leftrightarrow \sqrt{ a^2+b^2}+\sqrt{ c^2+d^2} \ge \sqrt{ (a \pm c)^2+( b \pm d)^2}
$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom