[toán 10]Tìm giá trị nhỏ nhất

[tigerboy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a + b + c[/TEX] \leq [TEX]\frac{2013}{2010}[/TEX].

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

[TEX]P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}[/TEX].

chú ý tiêu đề : [ toán 10] + tiêu đề

 

[huy266]

Cho [TEX]a, b, c > 0[/TEX] thỏa mãn [TEX]a + b + c[/TEX] \leq [TEX]\frac{2013}{2010}[/TEX].

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

[TEX]P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}[/TEX].

Đặt [tex]m=(\frac{2010}{671})^{2}>1[/tex]
[tex]P=ma+mb+mc+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-(m-1)(a+b+c)[/tex]
[tex]P\geq 6\sqrt[6]{ma.mb.mc.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}-(m-1).\frac{2013}{2010}=6\sqrt{m}-(m-1).\frac{2013}{2010}[/tex]
Vậy [tex]minP=6\sqrt{m}-(m-1)\frac{2013}{2010}[/tex]
khi [tex]a=b=c=\frac{671}{2010}[/tex]

 

[asroma11235]

Đặt [tex]m=(\frac{2010}{671})^{2}>1[/tex]
[tex]P=ma+mb+mc+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-(m-1)(a+b+c)[/tex]
[tex]P\geq 6\sqrt[6]{ma.mb.mc.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}-(m-1).\frac{2013}{2010}=6\sqrt{m}-(m-1).\frac{2013}{2010}[/tex]
Vậy [tex]minP=6\sqrt{m}-(m-1)\frac{2013}{2010}[/tex]
khi [tex]a=b=c=\frac{671}{2010}[/tex]

Bạn Huy nên viết ra cả hướng làm của mình để các bạn tiện theo dõi!
-Bởi vì lời giải này không tự nhiên,ắt phải có cách làm cụ thể!
Thanks!

 

[huy266]

Thế thì để lấy ví dụ 1 bài nhé, cái số [tex]\frac{2013}{2010}[/tex] lẻ quá
Cho [tex]a,b,c>0[/tex] thoả mãn [tex]a+b+c\leq \frac{3}{2}[/tex]. Tìm min
[tex]P=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]
Nếu sử dụng luôn Côsi thì không được vì dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=1[/tex] (vô lý với giả thiết [tex]a+b+c\leq \frac{3}{2}[/tex] nên phải biến đổi 1 chút
Nhìn biểu thức có sự đối xứng của a,b,c nên dự đoán minP khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]
Vì Khi dấu = của bất đẳng thức xảy ra thì các số bằng nhau nên ta giả định sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số [tex]ma,mb,mc,\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}[/tex]
Ta có:[tex]\left\{\begin{matrix} &ma=mb=mc=\frac{m}{2} \\ & \\ &\frac{1}{a}= \frac{1}{b}=\frac{1}{c}=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow m=4[/tex]
[tex]P=4a+4b+4c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3(a+b+c)[/tex]
Đánh giá như bài trên sẽ được [tex]P\geq \frac{15}{2}[/tex] khi [tex]a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]

 

[tigerboy]

Có một cách khác cho bài này (chắc là vậy)
[TEX]P = a + b + c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} [/TEX]\geq [TEX]a + b+ c + \frac{9}{a + b + c}[/TEX]

Đặt [TEX]t = a + b + c[/TEX]\Rightarrow [TEX]0 < t \leq \frac{2013}{2010}[/TEX]

Xét hàm số [TEX]f(t) = t + \frac{9}{t} [/TEX]trên [TEX](0 ; \frac{2013}{2010}][/TEX] ta thấy hàm số nghịch biến
\Rightarrow [TEX]f(t)[/TEX] nhỏ nhất khi [TEX]t = \frac{2013}{2010}[/TEX]

\Leftrightarrow P nhỏ nhất khi [TEX]a = b = c[/TEX] và [TEX]a + b+ c = \frac{2013}{2010}[/TEX]

[TEX]minf(t) = min P = \frac{2013}{2010} + \frac{9}{\frac{2013}{2010}}[/TEX]

Thêm một bài nữa
Cho hai số thực [TEX]x < y[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]x^3 - 3x \leq y^3 -3y +4[/TEX]

 

[asroma11235]

Thêm một bài nữa
Cho hai số thực [TEX]x < y[/TEX]. Chứng minh rằng
[TEX]x^3 - 3x \leq y^3 -3y +4[/TEX]

Đề bài không xảy ra dấu "="
Ta có biến đổi tương đương:
[TEX](y^3-x^3) - 3(y-x) +4 >0 [/TEX]

 

[01263812493]

Đề bài không xảy ra dấu "="
Ta có biến đổi tương đương:
[TEX](y^3-x^3) - 3(y-x) +4 >0 [/TEX]

Tới đây rồi sao nữa vậy

 

[tigerboy]

Đề bài không xảy ra dấu "="
Ta có biến đổi tương đương:
[TEX](y^3-x^3) - 3(y-x) +4 >0 [/TEX]

Dấu ''='' tại [TEX](x;y) = (-1 ; 1)[/TEX]còn gì.
Gợi ý là đặt [TEX]y = x + a[/TEX] với [TEX]a > 0[/TEX].