[Toán 10] Tìm đa thức

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}P(x)-10=\sqrt[]{P(x^2+3)-13}\\P(2014)=2024\end{array} \right.[/TEX]

 

[forum_]

[TEX]\left\{ \begin{array}{l}P(x)-10=\sqrt[]{P(x^2+3)-13} (1) \\P(2014)=2024 (2) \end{array} \right.[/TEX]

Từ (1) có

[TEX]P(x^2+3) = (P(x)-10)^2+13[/TEX] (3)

Thay x = 2014 vào (3) ,áp dụng (2) :

[TEX]P(2014^2+3)=(P(2014)-10)^2+13 = (2024-10)^2+3 = (2014^2+3)+10[/TEX]

Đặt $x_1 = 2014^2+3$ thì ta có P(x) = $x_1 +10$

Lại đặt $x_2 = x_1^2+3$ , từ (3) suy ra:

[TEX]P(x^2+3) = (P(x_1)-10)^2+13 = ((x_1 +10)-10)^2 + 13 = (x_1^2+3)+10[/TEX]

Do đó $P(x_2) = x_2 +10$

Bằng quy nạp sẽ c/m đc

$P(x_n) = x_n+10$, trong đó

$x_0=2014$ ; $x_n=x_{n-1}^2 + 3$ (với n $\in$ N*)

Nhận thấy $x_0$ < $x_1$ < .....

Xét đa thức Q(x) = P(x) - (x+10) có $Q(x_n)=0$ với mọi n =0,1,2,3,....

Chứng tỏ đa thức Q(x) có vô số nghiệm $x_0,x_1,x_1,....$ do đó đa thứ Q(x) đồng nhất với đa thức 0 với mọi x

Suy ra P(x) = x+10 với mọi x

Thử lại hoàn toàn thỏa mãn .