[Toán 10] Tìm cực trị

[deat_stock]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1a.cho x,y,z,t>0 co x+y+z+t=2.Tìm Min B=[TEX]\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}[/TEX]
b.cho x,y,z có x+y+z=1.Tìm Min A[TEX]\frac{x+y}{xyz}[/TEX]
2.Tìm Min của B=[TEX](x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2[/TEX] với a,b,c là các số cho trước
3.Tìm min M=x^2+y^2+2z^2+t^2. Với x,y,z,t[TEX]\geq[/TEX]0 và [TEX]x^2-y^2+t^2=21[/TEX], [TEX]x^2+3y^2+4z^2=101[/TEX]

 

[vansang02121998]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

$(x+y+z+t)^2 \ge 4(x+y+z)t$

$\Rightarrow (x+y+z)(x+y+z+t)^2 \ge 4(x+y+z)^2t \ge 16(x+y)zt$

$\Rightarrow (x+y)(x+y+z)(x+y+z+t)^2 \ge 16(x+y)^2zt \ge 64xyzt$

$\Leftrightarrow 4(x+y)(x+y+z) \ge 64xyzt$

$\Leftrightarrow (x+y)(x+y+z) \ge 16xyzt$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2};t=1$






Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có

$(x+y+z)^2 \ge 4(x+y)z$

$\Rightarrow (x+y)(x+y+z)^2 \ge 4(x+y)^2z \ge 16xyz$

$\Leftrightarrow x+y \ge 16xyz$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}$

 

[khongphaibang]

Câu1
a, Ta có: ${2^2} = {\left( {x + y + z + t} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + z} \right)t$

${\left( {x + y + z} \right)^2} \ge 4\left( {x + y} \right)z$

${\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy$

Nhân vế theo vế ta được :

${\left[ {2\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right)} \right]^2} \ge {4^3}\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right)xyzt$

\Leftrightarrow$\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right) \ge 16xyzt$

Vậy $\frac{{\left( {x + y + z} \right)\left( {x + y} \right)}}{{xyzt}} \ge 16$

Đẳng thức xảy ra \Leftrightarrow

$\left\{ \begin{array}{l}
x = y\\
x + y = z\\
x + y + z = t\\
x + y + z + t = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y = \frac{1}{4}\\
z = \frac{1}{2}\\
t = 1
\end{array} \right.$

 

[vansang02121998]

$B=(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2$

$\Leftrightarrow B=3x^2-(2a+2b+2c)x+a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow B=3(x^2-\dfrac{2a+2b+2c}{3}x+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3})$

$\Leftrightarrow B=3[x^2-\dfrac{2a+2b+2c}{3}x+\dfrac{(a+b+c)^2}{9}+\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{9}]$

$\Leftrightarrow B=3(x-\dfrac{a+b+c}{3})^2+\dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \ge \dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \ \forall \ x;a;b;c$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\dfrac{a+b+c}{3}$