[Toán 10] - Pro thì nhào zô

[pokoemon93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a,b,c>0
CM
[tex]\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]

-----------

Chú ý đặt tên cho bài viết của mình em nhé!
Tham khảo cách đặt tên cho bài viết cũng như các hướng dẫn khác tại đường link dưới đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?goto=newpost&t=37038

 

[quang1234554321]

a,b,c>0
CM
[tex]\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]

Viết lại [TEX]VT = \sum \frac{a^5}{b^3c^3} [/TEX]

Ta có [TEX] \frac{a^5}{b^3c^3} + \frac{1}{a}+ \frac{1}{a} \geq 3\frac{a}{bc}[/TEX]

Xây dựng các BDT tương tự và cộng lại ta được

[TEX] \sum \frac{a^5}{b^3c^3} + 2( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab})[/TEX]

Mặt khác theo Chebyshev :

[TEX] \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \geq \frac{1}{3} (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) [/TEX]

(Do [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq 3[/TEX] ( co-si) )

Từ trên ta có : [TEX] \sum \frac{a^5}{b^3c^3} + 2( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a^5}{b^3c^3} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

Vậy ta có đpcm

 

[pokoemon93]

[tex](\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})[/tex]
hai dãy này đâu phải là hai dãy đơn điệu mà áp dụng chebyshev

 

[mu_di_ghe]

a,b,c>0
CM
[tex]\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex]

-----------

Chú ý đặt tên cho bài viết của mình em nhé!
Tham khảo cách đặt tên cho bài viết cũng như các hướng dẫn khác tại đường link dưới đây:
http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?goto=newpost&t=37038

[TEX]VT =\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{b^5}{a^3c^3}+\frac{c^5}{a^3b^3}[/TEX]

[TEX]\frac{a^5}{b^3c^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \geq 3\frac{a}{bc}=\frac{a^2}{abc}[/TEX]

Tương tự cho các biểu thức còn lại. Cộng lại ta có

[TEX]VT +2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3\frac{a^2+b^2+c^2}{abc} \geq 3\frac{ab+bc+ca}{abc}=3(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm